Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

58 I. Vorlesungen fiber die allgem. Theorie der Integrale algebr. Differentialien.
(S. 33) und die entstehenden iDeterminantenkoeffizienten der Art (Jo, 1, m)
dureli Produkte von Thetafttnktionen fair die Nuliwerte auszudrU~cken.
Entwickelt man so, indem man
(Jo) == (n) ~ (p), (1) == (n) + (q), (in) == (n) + (r)
setzt, die Zerlegungen der Gruppen
(p) + (q), (p) + (r), (q) ~ r)
so ergibt sieli, ant~er der Zerlegung (n + p) + (n + q) der ersteren,
noch:
(p) + (q) (n + p ~ r) + (n + q + r)
+( ~p + d') + (n + q +d'> =.. ~(n +p +g') + (n + q +g')
wonach die fiinf Systeme von Charakteristiken (Po), (1), (in) bezw.
werden:
1. (n +q +r), (n +p +r), (n + p q), mit Summe nj = (n),
2. (n+p+d'), (n+q~d'), (n+r+d'),
mit Summe (n2)=(n+p+q+r~d')-(e~f~g),
5. (ni+p+g'), (n+q+g'), (n+r+g'),
mit Snmme (n5)=-(n~p+q~r+g'>=(d+e+f).
Daher wird
(n +p, n+ q, n+ r)
-~(n) O'(e +f +g) #(d +f +g) 4f(d + e+g) #J(d +e+f)
woraus durech Vertauschnngen von p, q, r, d', e', f', g/ sich die Ubrigen
Determinanten bis aufs Vorzeichen ergeben.
Die so gefundene Relation zwischen 94z +p, 'Fn + q~n + r 7n+ d' mul3
identisoch werden, wenn die (p.+ n. s. w. wieder durech ihre Ausdrllcke in
x' y', z' ersetzt werden; aber die hierzu nur n~tigen Relationen zwischen
den Verhffltnissen von Determinanten der Form (Jo, 1, in) und den Quotienten von Thetaprodnkten fUr die Nullwerte sind schon dureli das
Additionstheorein leiclit zn. beweisen, nacli dem von Jacobi und
Rosenhain fUr p =- 1, bezw. 2 gegebenen Verfaliren. Man hat nnr
das Additionstheorem selbst dnrch einfache Rechnung an den Thetareihen herzustellen. Daraus folgen dann schon die frillier (S. 34, 35)
gegebenen vollstiaindigen Ausdrticke der Kiassenmoduin durch die Thetaprodukte.
Von diesem Gesichtspunkte ans sind folgende Seliriften zu nennen:
Preisscirift von Rosenhain, in den Me'm. Sav. Etrangers XI, 1851,
ulber die ultraelliptischen Funktionen, auci die erweiterten elliptiscien
Funktionen umnfassend; G~pel, Crelles Journal 35. (S)