Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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56 ~~~I. Vorlesungen iiber die allgemeine Theorie

Im Fall 1) muf3 die Determinante
fr1' (1) #2' (l) O'3'(1) =(k, 1, m) == 0
sein [da zwischen Tk'I (PI ITM daun eine lineare homogene Beziehung stattfindet].
Daraus folgt:
Die Deterininante (k, 1, in) verschwindet, wenn fr(k'+ i'+ mn') (0, 0, 0) = 0
ist, wo
und (Ic'), (1'), (in') bezw. von (Ic), (1), (in) versehieden sind.
Urn daher alle Fiflle zu erhalten, in welehen (Ic, 1, in) =0 ist, hat
man von den drei Gruppen
(Ic) ~ (1), (Ic) + (n,()+ (n
je alle fiinf weiteren Zerlegungen zu bilden. Von irgend einer dieser
Zerlegungen, etwa ( k) ('
wird eine Charakteristik (bezw. Abelsehe Funktion) (Ic') in einer Zerlegung der Gruppe (Ic) + (mn) vorkommen:
(Ic) + (in (c) + (n)
die andere Cliarakteristik (1') in einer Zerlegung der dritten Gruppe
so daB man auf diese Weise drei Abelsche Funktionen mit Charakteristiken (Ic), (1'), (in') erhuIlt, deren Summe (n') sei.
So ergeben sick, den fitinf Zerlegungen einer dieser drei Gruppen
(Ic) + (1), (Ic) ~ (in), (1) + (in) entsprechend, fiinf Thetafunktionen, von
der Eigenschaft, dap3 das Verschwinden irgend einer derselben fuir die
Nullwerte der Arguinente eine hinreichende Bedingung dafiir ist, dap die
Deterininante (Ic, 1, in) verschwindet:
0 (n,), (n2),.. 0 #(n5),
wo
(,nl) (kc) + (li) + (in), *,. (n5) (Ic5) + (15) + (is),
und (Icr, (Qv, (in,) eines der eben gefundenen fitinf Systeme (Ic), (1'), (in')
vorstellit.
Von diesen Bedingungen ist auch keine eine Folge der tibrigen;
und bildet man