Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraischer Differentialien.

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/(z-a (z- c) x z-b) ( -c), -/( -a) ( d) x V -b) (-d),
* *, /(z- a) (z - h)x /(z - b) ( - h) bildet. Zu b) muB man hier
noch
(- -) x (z - a) ( - b)
hinzunehmen, als Produkt einer ungeraden Abelschen Funktion mit
einer zur geraden Charakteristik (n) gehorigen, noch zwei willkiirliche
Konstanten enthaltenden Abelschen Funktion, (z - a).
Sei nun
(n)(0,, 0) = 0.
Wir fragen: welche Relation existiert zwischen den Charakteristiken
zweier ungeraden Abelschen Funktionen, damit sie einen Faktor der
Art /z — a gemeinschaftlich haben?
Seien die Charakteristiken derselben (k) und (1). Dann muB in
der Gruppe (k) + (1) nach b) die gerade Abelsche Funktion, die zu (n)
geh6rt, vorkommen, so daB der andere Faktor die Charakteristik
(n) + (k) + (1) haben wird. Also wird (n) + (k) + (1) eine ungerade
Charakteristik. Und umgekehrt: wenn (n) + (k) + (1) ungerade ist, so
haben (k) und (1) die verlangte Eigenschaft.
Drei ungerade Charakteristiken seien (c), (1), (m). Die Bedingung,
daB sie zu je zwei einen gemeinsamen Faktor haben, ist also, daB
(k') = (n) + (l) + (m), (')= (n) + (k) + (m), (m') = (n) + (k) + (1),
wobei
(k') + (') + (m') - (n) (mod. 2)
wird, alle ungerade seien.
Entweder haben dann (k), (1), (m)
1) alle drei denselben Faktor, die Funktionen sind also von der Form
V^k=y -d)(-a), y^^y(z-d) ( b),
V/9 = V- () - d) ( -c);
oder
2) die gemeinsamen Faktoren sind verschieden, die Funktionen
werden von der Form
Y Y=- b) (- c),; = V(z - a) (z - c),,= -l(z- a) (z- b),
und es wird
(n) + (k) + (1) (m) _ (m'), u. s. w.;
d. h. (k'), (1'), (m') werden bezw. mit (k), (1), (n) identisch oder nicht,
je nachdem man im Fall 2) oder Fall 1) ist.