Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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I. Vorlesungen iiber die allgemeine Theorie

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und f(z). Den ersteren 28 Fmnktionen entsprechen die 28 ungeraden
Charakteristiken, der letzteren aber eine gerade Charakteristik und eine
gerade Thetafunktion, die fur die Nullwerte der Argumente verschwindet.
Unter den 36 geraden Thetafunktionen werden also in unserm Falle
fur die Nullwerte der Argumente eine verschwinden, die iibrigen von
Null verschieden sein.
Umgekehrt: wenn eine der 36 geraden Thetafunktionen fir die
Nullwerte der Argumente verschwindet, so wird durch diese Thetafunktionen das Umkehrproblem der hyperelliptischen Integrale gelost.
Sei namlich, fur (n) gerade,
(n) (0, 0, 0)= 0;
so muB
(u1 - - e,... ),
1 '=,n. 'n'
WO
1, - t t? *L 1~ 3- z~c~s;lna'n
so verschwinden fur (s, z) = (sl, z), da6 die Kongruenzen
(e,. '.)=-( u) )
auf zwei, und damit auf unendlich viele Weisen, erfillt werden konnen
(s. S. 43). Es existiert also eine Funktion, die fir zwei Werte unendlich grof und unendlich klein wird: was eben der hyperelliptische
Fall ist. Dieser Fall ist also fur p = 3 notwendige und hinreichende
Bedingung, daB eine gerade Thetafunktion fiir die Nullwerte der Argumente zu Null wird.
Die Funktion, welche in je zwei Punkten 01 und ool wird, ware
(' ()u -- 1 * * '*) (S30
Fir den hyperelliptischen Fall p =3 zerfallen die 63,,Gruppen"
von Paaren Abelscher Funktionen in zwei Kategorien:
a) Produkte von zwei eigentlichen Abelschen Funktionen, von der
Form ]/(z - a) (z-b) x (- c) (z-d), wo a, b, c, d alle von einander
verschieden sind;
b) (z - a) }/(z - a) (z - b), wo a, b von einander verschieden sind.
In beiden Fallen bestimmen sich die sechs Zerlegungen jeder Gruppe
leicht. Bei a), indem man einmal das Produkt von vier linearen Faktoren dreimal in Paare teilt, und ebenso das zur selben Gruppencharakteristik gehorige Produkt der vier iibrigen linearen Faktoren:
/(z — e) (z - f) (z- g) (z - h); bei b), indem man die sechs Paare