Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraischer Differentialien.

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und auch hier ist der Satz fur alle m erfillt. Daher gilt der Satz
fiir p + 1. Nach dem Gesetz, nach dem (n') aus (n) gebildet wurde,
wird zugleich
-(7) =,'1::, 1 ),
0 1 1
mit abwechselnden Gliedern 1 und, dem SchluBglied 1; so z. B. fur
p=3 und 4:
(n) = ~ 1), bezw. (~ 1.
Zur Auffindung dieses bestimmten Ausdrucks (n) brauchte man
fibrigens gar nicht auf die Integrale zurfickzugehen, da leicht zu zeigen
ist, daB (n) durch seine friuher genannten Eigenschaften schon vollig
gegeben ist..(9) Die Folge ist, daB diese Systeme von Charakteristiken
nicht nur fir die hyperelliptischen, sondern fir die allgemeinen Abelschen Funktionen verwendbar sind. So haben wir fir p = 3 solche
sechs Gruppencharakteristiken (a,), *., (a6), namlich
(p), (q), (r), (d') (e'), (f')
[mit (g') - (p) + (q) + (r) + (d') + (e') + (f')
aufgestellt, daB alle Gruppencharakteristiken sich aus ihnen zusammensetzen lassen; und dann wurde (n) so bestimmt, daB die Charakteristiken
1 2 5 6
(n)+ (a), (n) (a,), (n) + (a), (n) +2 (av) ungerade,
3 4
(n), (n) + (), (n) + (a,) gerade
waren. Dies war friiher durch Induktion [aus den Gruppen von Paaren
Abelscher Funktionen] gefunden; zugleich waren die den Gruppencharakteristiken zugeordneten halben Perioden auch ihrem Werte nach
durch Integralsummen vollig bestimmt (S. 13-15, 27-30).
Fortsetzung: 8. Erganzung der allgemeinen Entwicklungen
bei p= 3 durch die fur den hyperelliptischen Fall geltenden.
(11. Mdrz:)
Wir betrachten den hyperelliptischen Fall p = 3:
w z ~~~~~~~2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _,..z _z _ _ -_( _
J lt{(z-a)(z -b)(z-c)(z-d)(z-e) (z-f)(z -g)(z -h)}
mit den Abelschen Funktionen (z-a) (z- b), wo far a, b irgend
zwei verschiedene von den acht Verzweigungspunkten zu nehmen sind,