Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraisclier Differentialien. 4

47

(n) ~ (a) - (/3) - 2 (bv) (n) ~ (y) -((Y) -7 L(c,) (mod. 2)
wird, die Formel:
______a _-_______4_(c 1 / @ - bV) ll b V) H( r - c) H Q6- c,)
in der x. ein Exponentialfaktor ist.
Diese Darstellung gentigt, urn durch Vertausehungen und Produktbildungen alle Quotienten. der Form
z4 )(
(a c ) (b - d)
wo, a, 6, c, d irgend vier versehiedene aus den 2p + 2 Yerzweigungswerten vorstellen, dureli Thetaquotienten fuir die Nuliwerte der Argumente auszudriicken. Denkt man noch eine lineare gebrochene Substitution zwischen z und z' ausgefillirt, wobei der letztere Quotient i
flbergehe, und nimmt drei der Gr~ien a', ' c', d' als 0, 1, o an, so
erhiilt man die Ausdrilcke fair die Moduin der hyperelliptischen Funaktion.
[Ausgerechnet wird, mit ililfe der Definition von ~(, (v) (Seite 8)
- n'J~~~~~~b)- ~v
11 uT2 (n+6,,)(n +-Vb,) +,"~ (n+zc) ~l+cv)
=e
Fortsetzung: 6. Thetaquotienten mit beliebigen Argumenaten.
Seien (s1, z,), (s2, z2),., (s,,, zp) irgend p Punkte von E (s, z) = 0,
und 0) u%,)..., u(P) die zugeh~irigen Werte von u' a, b seien irgend
F' F' itF'Al t
zwei Yerzweigungspunkte. So kann man den Quotienten
4 Z(ju(") - u, (a)~.. _~2LeF)&)~
wo
U. (a) - u, (b) -E' zi + 2 E. f" aF,F',,,
algebraiseli ausdrUeken dureli die Werte (s,, zr,),... (s.,, z.).