Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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I. Vorlesungen fiber die allgemeine Theorie

gegenseitig; und dann lassen sich die Kongruenzen
P-1 \
(e,,~~~) i~,(Y)
auf verschiedene Weisen erfiillen. Hieraus folgt:
Fur m> 0 miissen alle Gro/ien 0, (q) gleich Null sein. Wenn
#(q) = 0 und alle 09(q) = 0 sind, so hat man verschiedene Integralm
systeme fiur die e, also fiir den Faktor f(z) der zugehorigen Abelschen
Funktion ((1), S. 35) mindestens zwei Konstanten, d. h. n > 0.
Beachtet man nun weiter, daB bei gerader Charakteristik (q) alle
0', (q) immer gleich Null sind, so ergibt sich:
1st 4#(q) = 0 und (q) gerade, so mup die zugehorige Abelsche Funktion mindestens zwei williirliche Konstanten enthalten, also m > 0 sein.
Und hieraus weiter:
Dem Fall m == 0 knnen nur Abelsche Funktionen mit ungerader
Charakteristik und ungerade Thetafunktionen entsprechen.
Die friiher gegebene algebraische Darstellung einfacher Thetaquotienten (S. 9, 10 (4), (4') und S. 32) als Quotient zweier Abelschen
Funktionen, namlich
0(a) (U1 - u', * ) Pa(S, z). (SI, zi)
(b) (u) - ( ', *. ) - b (S, Z) b (S1, Z1 )
ist nur anwendbar, wenn die beiden Thetafunktionen des Quotienten
nicht identisch verschwinden; somit nur entsprechend solthen Abelschen Funktionen j/, j/ -, welche zu m = 0 gehoren, also jedenfalls
nur fir ungerade Charakteristiken (a), (b).
Ist m > 0, so ware
m / p-1-2m
T n(z-cc,~S~;;av)
Vz-ao)p-1
als Quotient von Thetareihen auszudriicken. Tut man dies durch einen
einfachen Thetaquotienten, so verschwindet der Zahler identisch in (s, z),
und man muB dann, bei m 1, dafiir erste Derivierte nach irgend
einem der Argumente u nehmen; zwischen den Derivierten existieren
dabei lineare Relationen. Und ebenso muB man bei m > 1 auch auf
die hoheren Derivierten ibergehen - was wir jetzt nicht weiter verfolgen konnen. Dabei wutrde sich auch die allgemeine Giiltigkeit des
oben vorausgesetzten Satzes (S. 39, 41) ergeben, analog wie oben fur
m = 0.(26) Bisher ist von diesem Satze nur fest bewiesen, daB [was
fir p = 3 genugen wiirde] die Charakteristiken der Formen