Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraischer Differentialien. 4

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Fiir m > 0 mup 4a (q) (u1 u,',...- ) identisch verschwinden flir
jedes (s, z).
Denn sei
Y(uY~- u1)
(q) e~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1
wo
und 2 ausgedelint wird fiber die p - I Punkte, fair weiche die (q)
V
zugeordnete Abelsehe Funktion verseliwindet. Da fuir m > 0 verschiedene Systeme von Summen von p - 1 Integralen existieren, denen
die e,, kongruent gesetzt werden ko-nnen, so muB # (q) (u1 - u'
nach der ersten Formel identisch verschwinden fUr jedes (s, z).
Filr m > 0 verschwinden ferner auch die p Funktionen O~ (e1,,.. ep).
Denn
p ~~~~~~du~
wird dann fMr (s, z) = (s,, ol) ebenfalls zu iNull, also auch die Koeffizienten #,' (q) (0,.), weil zwischen den du = 1, 2,, p) keine
lineare homogene Relation mit konstanten Koeffizienten stattfindet.
U~mgekehrt: Wenn sowohl O# (el,.) =0, als die O1 (e1,.. 0
( = 1, 2,...,I p) sind, so mup die Funktion 4~(u, - u1' e,,.) identisch
fiir jedes (s, z) verschwinden.Denn da, nach dem fru~heren (S. 30,31), fire 4(e,,...) =0, (f1,. =0:
— u,'- fe, *. (u, - ul'+ e,~* 9 ~'~fcMs,,
It ~~~~~~~It
so folgt aus O$' (e) == 0 (~=1,., p) und zwar ohne Hinzunahme von
4JL f =, daB '# (u1 - u1' ~ el,.)fUr jedes, (s, z) identisch gleich Null
sei; die beiden Ausdriicke #(u, - ul' - e,,.) und a (u, - u,' + e1,..
versehwinden aber gleichzeitig identisch, oder nicht [da emn soleher
Ausdruek, wenn als Funktion von (s, z), audi als Funktion von (s,, 0l)
identiseli verseliwindet].
Hiernach bedingen sich die beiden Eigenschaften:
1) O#(u1 - u1' - e,,.) versoiwindet identiseli ffir jedes (s, z);
2) 4Y (e1,, )=0, O(el..).=0 l=2,,p