Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

42 I. Vorlesungen iiber die allgemeine Theorie
Auch die Charakteristiken von den Formen
p-+2+4rm p+ 3+4m
(n) +2(a,), (W) + (a),
wobei sich v ebenfalls auf die Zahlen 1, 2,.., 2p bezieht, sind ungerade;
d. h. alle aus (n) und den (a,),.., (a2p) zusammengesetzten Charakteristiken sind ungerade, sobald die Anzahl dieser (a) - p - 1 oder
p- 2 (mod. 4) ist.
Die iibrigen Kombinationen mussen dann die geraden Charakteristiken liefern; diese werden also von den Formen
p+4m p+ —l 4m
(n)+ (av), (n) +2 (av);
d. h. alle aus (n) und den (a,), *., (ap) zusammengesetzten Charakteristiken sind gerade, sobald die Ansahl dieser (a,) — p oder p + 1
(mod. 4) ist.
In unserem hyperelliptischen Falle existiert auch unter den letzteren
Formen von geraden Charakteristiken eine Reihe von Abelschen Funktionen, namlich diejenigen, fur welche die Summen die Formen annehmen:
p-3-4m p-4-4m
p+4+4m p+5-4m
fiir m O.
Es bleiben daher noch die Formen, welche auch in unserem Falle
keinen Abelschen Funktionen entsprechen:
P P+l
(n) +, (av) (n) + (t);
und dieses sind daher, unabhingig von dem oben vorausgesetzten Satze,
jedenfalls gerade Charakteristiken. In unserm Falle konnen denselben
keine Thetafunktionen entsprechen, welche fur die Nullwerte der Argumente verschwinden; und umgekehrt entsprechen hier solchen Funktionen nur Charakteristiken der letzten beiden Formen.
Fortsetzung: 4. Ausdruicke von Quotienten Abelscher
Funktionen durch Thetaquotienten.
(8. Mdrz:)
Betrachten wir die Thetafunktionen zunachst im Falle der Abelschen Funktionen, in dem m > 0 ist (s. (1) S. 35). Die Charakteristik
einer solchen Thetafunktion sei (q).