Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraischer Differentialien.

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Addition zusammensetzen, nur dann einander gleich sind, wenn sie in
den (a,), * *, (a2p) denselben Ausdruck erhalten. Bildet man aus denselben alle Kombinationen
a~( (a1) + a2 (a2) + * + aS- (a2),
wo die a nur die Werte 0 und 1 erhalten, so erhalt man 2 2 von
einander verschiedene Ausdriicke, und also auch 22P verschiedene Charakteristiken, wenn man (0) einschlieBt. Und da es nur ebensoviele
Charakteristiken gibt, so lassen sich alle Gruppencharakteristiken aus
(a1), (a2),., (a2p) zusammensetzen; auch (0) eingeschlossen, wenn man
a - = - *...== aC = 0 setzt.
Addiert man weiter die Charakteristik (n) zu allen diesen Gruppencharakteristiken, (0) eingeschlossen, so erhiilt man wieder alle 22P Charakteristiken, da aus (n) = (nb) auch (a) = (b) folgt. Wir drucken
daher alle Charakteristiken in der Form aus
unter 2: irgend welche Summen der (a~) (v = 1, 2, *, 2p) verstanden.
Wenn man nun beachtet, daB der Quotient
r m/ p-1-2m / p- 1 - 2 in
f (Z) V H (z-a) f (z) 1/ ( - a,)
_^ ^ ^- __ _ __ = )m r _..-2 t
V(Z _ ao)p-1 (Z - ao)" (z — ao)-1 —2l
die Gruppencharakteristik
p-1 — 2m p-2-2m
(a,), bezw. V(a)
hat, je nachdem ao unter den a, des Zahlers nicht vorkommt, oder ja,
so folgt:
die Charakteristik von
m V p-l-2m
ist
p —l-2m p- 2-2m
(n) + (a), bezw. (n)+ (a)
je nachdem ao unter den a, nicht oder ja vorkommt.
Setzt man nun den am SchluB des vorigen Abschnittes (S. 39)
vermuteten Satz als richtig voraus, so folgt weiter:
Die ungeraden Charakteristiken werden von den Formen
p-1-4m p-2-4m
(n) + (a), (n) +Z (av)
wobei sich v auf die Zahlen 1, 2,..., 2p bezieht.
Da dasselbe auch bei Hinzunahme von a2,+ gelten muB, so erhalt
man weiter, indem man (a2p+1) durch (al) + (a) + * * - + (ap,) ersetzt: