Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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I. Vorlesungen iiber die allgemeine Theorie

Fortsetzung: 3. Relationen zwischen den Charakteristiken
der Abelschen Funktionen.
(8. Marz:)
Die 2p + 2 Verzweigungspunkte a seien bezeichnet mit
ao, al a2, a,*, a2+1.
Die Charakteristik der Abelschen Funktion
/(z- ao)P
sei
wobei
(21- + )=,,.. )-((p - u) (ao),.),
wenn u (a) der Wert von a,, im Punkte a ist.
Wir sehreiben dann der Funktion
g -- ao
die Gruppencharakteristik (a,) zu, indem entweder ihr Faktorensystem
an den Querschnitten bestimmt wird, oder
(4 1 'v + 4 - ai," '.) ' (u(a) - ul(ao),' * )
sei; beidemal ist die Zuordnung fur eine bestimmte Zerschneidung
von T gefunden.
Da das Produkt von 2p + 1 verschiedenen Faktoren
/2p+t
(/ (- av) (v=1,,, 2p+1)
r - a)2 + 1
eine rationale Funktion von s, z wird, und da die Charakteristik desselben die Summe der Charakteristiken der einzelnen Faktoren ist, so
hat man zwischen den Charakteristiken (a1),. *, (a2p+1) die identische
Relation:
(a) + (a2) +.. + (a2p+1) (0),
d. h. (a2p+1) ist durch die 2p ersteren Charakteristiken bestimmt. Dagegen findet zwischen diesen selbst keine lineare Identitat statt, da
keines der Produkte, aus irgend x verschiedenen der 2p ersten Faktoren
zusammengesetzt, eine rationale Funktion sein kann.
Aus der linearen Unabhangigkeit der Charakteristiken
(a1), (a2), *, (a2p)
folgt, daB irgend zwei Charakteristiken, welche sich aus ihnen durch