Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraisecher Differentialien.

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Daher wird
p-i1
4
n (P - I1- 4(n)! (p +- 3 +- 4nr)! 23-1(2 )
also gleich der Anzahl. aller ungeraden Charakteristiken.
Sobald also noch ungerade m zullssig sind, was fUr p ~ 3 der
Fall ist, muB es noch ebensoviele Abelsehe Funktionen mit geraden
Charakteristiken - entspreclend geraden Thetafunktionen, die fir die
Nullwerte der Argumente verschwinden - geben, als Zerlegungen
Z/ von 2p + 2 Faktoren in je p - 3 - 4n und p + 5 + 4n, fUr
n = 0, 0, 1 1 4
2) m==2n+1, p-3 —4n>O, n=o, 1, p-3
4
[Man erh~ilt im ganzen, durch analoge Rechnung, wie in 1):
n-p —
4
~~-Z (2p +- 2)! 1 (2p + 2)!
LJ~~~J ~ ~ ~ ~~ =2P-1 (2P + 1) 2(+) (+)
(p - 3 - 4! (p+~ 5 + 4n)! T (p + (p +
versehiedene Charakteristiken, je zu Abelsehen Funktionen mit der
Konstantenzahl 2n + 2 gehiirig.]
Es ist Z' ==1 fair p = 3; Z' =1 O fUr p = 4; Z' = 66 fiir p=5.
Ebensoviele gerade Thetafunktionen verschwinden fUr die Nuliwerte der
Argumente. Fiir p = 3 stellt dies eine, fair p = 4 aber, da die hyperelliptische Funktion p = 4 noch 7 algebraisehe Moduin enthalt, nicht
10, sondern nur 3 Relationen zwischen den Moduln der Thetafunktion vor.
Aus dem Umstande, daB es ebensoviel [O3,] Abelsche Funktionen
mit ungerader Charakteristik gibt, als Kombinationen Z von Produkten
TZp-1i-2m
11 (- a) mit geradem m, und ebensoviele [ap - 4 (2p + 2) + ]
Abelsche Funktionen mit gerader Charakteristik, als Kombinationen Z'
/Up-1-2m
von Produkten (z - a) mit ungeradem m, liaBt sich vermuten,
dap den
geraden, bezw. ungeraden m
die Abelsohen Funktionen mit
ungerader, bezw. gerader Charakteristik
entspreehen mdgen. Wir setzen diesen Satz, den wir spiiter (s. Fortsetzung 7)
vollstindig beweisen werden, zuniiclst voraus.