Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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I. Vorlesungen fiber die allgemeine Theorie

p - 1 oder weniger Faktoren der Art /z - a rational ist, sondern erst
das Produkt der 2p + 2 verschiedenen Faktoren V I(z- a).
Obwohl wir bei diesen Zuordnungen der Abelschen Funktionen zu
den Charakteristiken eine bestimmte Zerlegung der Flache T zu Grunde
legen muBten, braucht doch diese Zerlegung nicht ausgefihrt zu werden,
insofern die Resultate unabhangig von ihr sind.
Fortsetzung: 2. Anzahl der Abelschen Funktionen.
(7., 8. Marz:)
p —2
Zahlen wir die den verschiedenen Fallen m = 0, 1, 2, *, 2
bez. -- entsprechenden Abelschen Funktionen im hyperelliptischen
Fall an
F- 'p-l- 2m
11 (- a)
((1), S. 35) ab.
1) m = 2n, p -4n > 0.
Man hat
(2p + 2)!
(p - - 4n)! (p + 3 + 4n)!
Anordnungen, durch Zerlegung von 2p + 2 Faktoren in je p - 1- 4n
und p + 3 + 4n; und ebenso viele Abelsche Funktionen, von verschiedenen Charakteristiken, je mit der Konstantenzahl 2n + 1.
Zur Summation Z dieser Charakteristiken fur n = 0, 1, 2, *,
n < 1 bildet man aus dem binomischen Satze:
- 4
2p+2
x-(p-1) (1 + x)2p+2 xp+3-V. (2p + 2)!
kVIP-l)(X v<-L-+ amZ1~pt-9 —r v! (2p - 2 -- )!
v=O
und summiert beide Seiten uiber x = + 1, - 1, + i, - i. Dabei heben
sich rechts alle Glieder gegenseitig weg, in welchen der Exponent
von x nicht durch 4 teilbar ist, und die rechte Seite wird fur
v=p-1 -4n zu:
n" -T
4 v (2p +2)1 8 Q (2p + 2)!
v! v(2 p+2-v)! n (p-1 —4n)! (p+3+4n)!
die linke Seite zu. X-(- 1) (1 + X)2p +2 = 2p+2 (2 ).
x=l,-1,- i