Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraischer Differentialien.

37

Punkte mit y), fiber die letzteren mit f(Y) so wird
rwv v v=l,,
Y V V1
wo g,, hv rationale Zahlen sind.
Wenn insbesondere diese Zahlen g,, hv nur ganze Zahlen werden,
also wenn die Kongruenzen
Um m
v==l y==l
sich durch Werte (svzv) erfullen lassen, die von den Grenzen (f, Y)
der t) verschieden sind, so muB die Funktion, welche in den ersteren
m Punkten zu 01, in den letzteren m Punkten zu oo1 wird, eine rationale Funktion von s, z sein. Ist sie der Quotient zweier Abelschen
Funktionen (1), so wird ihre Gruppencharakteristik zu (0.) (s. S. 10).
m
Andert man daher in (1) nur die Koeffizienten von f(z), unter Bei_ / -p-l-am
behaltung des Faktors I/ J ( - a), so kommt man zu zwei Funktionen V(P, /' p'< von derselben Charakteristik (c). Und die einer
bestimmten Charakteristik (c) entsprechenden Abelschen Funktionen
m
werden so viele willkuirliche Konstanten enthalten, als in f(z) vorkommen, namlich m + 1.
Ist die Funktion uiberhaupt der Quotient zweier Abelschen Funktionen
1/C
so wird
g~ C + d h + )'E )
g,( +O, I" J +I
Die Faktoren, welche -~ an den Querschnien n a, bezw. b, erlangt,
dd
werden (-1)'+', bezw. (- 1); +~,; und die Gruppencharakteristik
~'~+ ~i~,~-,
des Quotienten wird (, a +c. rd
\ El,. -. ~p
Man erhalt daher so viele wesentlich verschiedene Abelsche Funk-g/J7-Tp-1-2m
tionen, mit verschiedenen Charakteristiken, als Ausdriicke / ( - a)
(m = 0, 1,*..) existieren. Denn bei gleichen Charakteristiken milBte
der Quotient rational sein, wahrend niemals der Quotient von irgend