Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraiseher Differentialien.

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OX O + a dn+p d+f).O (n+p+d+g)
aj = ~~#(+ p ee f)6#(n p g)
[wo j eine numerische Konstante ist];
und entsprechend I, y, a',...
Hyperelliptischer Fall.
1. Die Abelsehen Funktionen und ilre Charakteristiken.
(6., 7. Mdrz:-)
Die dem hyperelliptischen Fall [p >1] zu Grunde zu legende
Gleichung nelmen wir (s. S. 12) in der Normalform an:
2 p+l
F(s, z )uas2 + 2als + a2 = 0,
wo ao, a,, a2 ganze Funktionen (p + 4)tef Grades sind.
Die Integrale erster Gattung werden, wenn s 2p + I-fach zusammenhUngend sein soll:
w fq (pk() dz
(z - a)
wo
IT 2p+2
11 (z - a) ==4 (a12- a~a2)
eim Produkt von 2 (p + 1) verschiedenen Faktoren der Art z - a ist.
Die Abelsehen Funktionen, weiche in je p - 1 Punkten unendlich
klein von der ersten Ordnung werden, sind hier Leieht zu bestimmen.
Zunnichst werden sie, wenn mit c1, c2, *, cp- die 01 Punkte einer
Abelsehen Fnnktion j/Sp, bezeichnet werden, von der Form
~i~ = v x(z -c);
und hierbei miissen - da 9q, nur fUr c1, *.., cp-1, und zwar je in
zweiter Ordnung, verschwindet, z - c aber in c in erster oder zweiter
Ordnnng, je nacldem c von einem der Yerzweigungspunkte a versehieden
ist, oder mit einem solehen zusammenfallt - diejenigen Faktoren
0 - c, fUr welehe c mit keinem der Punkte a zusammenfillt, zweimal
vorkommen. Es wird daher
- -u/Jfp-1 —2m m
(1) I/cp, = V 1JI (z - a). f(z). (m=o,
Um die Charakteristiken dieser Funktionen zu bestimmen, haben
wir zunichst, wenn j/'q, zur Charakteristik
(c) E