Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraischer Differentialien.

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und diese beiden Satze miiBten auch ausreichen, um alle Relationen
zwischen Abelschen Funktionen zu finden, wenn man noch deren Beziehungen zu den Thetacharakteristiken und die Satze fiber den Zusammenhang der Charakteristiken benutzte, um zu untersuchen, welche
Produkte zu derselben Gruppe geh6ren.
Die Konstanten in den p - 2 Gleichungen miissen sich dabei so
einrichten lassen, daB die Koeffizienten samtlicher Quadrate von Abelschen Funktionen sich rational in 3p- 3 GroBen ausdriicken, den
3p- 3 Moduln der Klasse; wie wir es fur p = 3 durch die sechs GroiBen
a, 7, a', pi, y' getan haben.
So hat man fur p =4 zwei Gleichungen zwischen je vier Produkten;
und man wird diese so wahlen, daB in den beiden Gleichungen dieselben acht Abelschen Funktionen vorkommen.(19)
Algebraische Ausdriicke von einfachen Thetaquotienten. (20)
(4. Mdrz:)
Um das Ziel: die Konstanten in den Ausdriicken aller Abelschen
Funktionen durch die Thetafunktionen fiir die Nullwerte der Argumente
zu bestimmen, zu erreichen, ist es zweckmailig, mehr zu benutzen, als
bloB die Beziehung der Abelschen Funktionen zu den Thetaquotienten
(S. 10), also bloB die Charakteristikentheorie; wir wollen vielmehr
die Quotienten von Thetafunktionen, deren Argumente nicht, wie bei
jenen Funktionen, nur von zwei Punkten von T' abhangen, sondern
beliebige Werte haben, algebraisch ausdriicken. Wir geben die Rechnung allgemein fur beliebiges p, wenn sie sich auch nur fur den Fall
zu Ende fuhren laBt, daB man die Fundamentalgleichungen zwischen
den Abelschen Funktionen schon kennt, wie bei p = 3.
Zum Ausdruck des Quotienten zweier einfacher Thetafunktionen
soil (Th. A. F. Art. 27) eine algebraische Funktion 6 gebildet werden,
welche an den Querschnitten von T' dieselben Faktoren annimmt, wie
I/|, wo j/ und Ij zwei Abelsche Funktionen sind, und welche fur
p Punkte von T' unendlich von der ersten Ordnung wird.
Unter den Bezeichnungen des vorigen Abschnittes bilde man zwei
verschiedene Funktionen
2p-4 2p-4
f (xI, x2) f (xI, x2)
2p-6 2 2p-6
V(X1, X) (x, x2)
die beide je 3(p - 1) willkiirliche Konstanten enthalten und fir je
2(2p - 2) Punkte unendlich klein von der ersten Ordnung werden. Je
p - 1 dieser Konstanten sollen so bestimmt werden, daB f(x,, x2) fur