Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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I. Vorlesungen fiber die allgemeine Theorie

=-/ V/, ^(s, z) p (s, z)d z
as
Dieser Ausdruck ist ein immer endlich bleibendes Integral, ist in der
Flache T' eindeutig und stetig, und zu beiden Seiten der Querschnitte ist
[von der Gruppe, zu der y/P Pv gehort, abhangig]
fir einige Querschnitte a) v = v- + const.
fur die tibrigen (> 1) Querschnitte 3) v+ = - v- const.
So wie es fur die endlichen Integrale w, fir welche an alien
Querschnitten die Beziehung a) gilt, geschehen, laBt sich nun ableiten,
dab alle Funktionen v', welche in T' eindeutig und stetig sind und an
den Querschnitten genau dieselben Beziehungen a), 3) haben, wie v, von
p - 1 willkiirlichen Konstanten linear abhangen. Man braucht nur zu
zeigen, daB der reelle Teil von v' durch die vorgeschriebenen Unstetigkeiten a), p) hier vSllig bestimmt(17) ist, und dann, daB jedes v' durch
p - 1 unter ihnen linear ausdriickbar ist. Daraus folgt dann der
Satz (A).(18)
Die in eine Relation
a) ++ +.- + %=0
eingehenden Ausdricke &i, vi sind lineare Funktionen von x1, x2, *.., x,.
Man nehme nun p -2 von einander unabhangige Relationen der Art a),
so stellt dies zwischen den p Groilen xw, x2, *, xp p - 2 unabhangige
Gleichungen vor. Eliminiert man also aus denselben die p- 3 GroSen
x, *, xp, so bleibt nur eine homogene Gleichung zwischen den drei
Verinderlichen x,, x, xu iibrig, welche mit der urspriinglichen Gleichung
2p —2
F(x1, x2, x3) = 0 ubereinstimmen muB. Die Gleichung F(x, x, x x) ist
also ersetzbar durch p - 2 Gleichungen der Form a); daher muB auch
jede algebraische Gleichung F(s, z) = 0 fuir eine 2p + 1-fach zusammenhangende algebraische Funktion s von z ersetzbar sein durch
ein System von p- 2 Gleichungen zwischen p Veranderlichen. Da aus
diesen auch alle algebraischen Relationen zwischen den Abelschen
Funktionen folgen mitssen, so muB aus jenen p - 2 Gleichungen auch
algebraisch herzuleiten sein, dalB zwischen je p zu einer Gruppe gehorigen Produkten eine Relation der Art a) besteht.
Somit sind die Konstanten in den p- 2 Relationen nicht unabhangig; sie mussen vielmehr eben derart bestimmt werden, daB aus
den p- 2 Gleichungen der Form a) alle uibrigen von derselben Form
folgen. Man wird sich dabei der beiden Satze (A) und (B) bedienen;