Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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I. Vorlesungen iiber die allgemeine Theorie

Wir betrachten ein Produkt aus zwei Abelschen Funktionen
ff =,
wo also S und q solche ganze lineare homogene Funktionen von
x, X2f ", xp sind, welche fir je p- 1 Stellen von F-= 0 unendlich
klein von der zweiten Ordnung werden.
Verwandelt man die urspriingliche Flache T durch Querschnitte
in die einfach zusammenhangende Flache T', so wird die Funktion
6 = Tr, stetig durch T' fortgesetzt, allenthalben nur einen bestimmten
Wert annehmen, nachdem das Vorzeichen von 6 in einem Punkte willktirlich festgesetzt ist. Denn 6 wird, wo es unendlich klein oder unendlich groB wird, dies uiberall nur von der ersten Ordnung, ohne Verzweigung; man kann auch sagen: fiber jeden innerhalb T' verlaufenden
geschlossenen Weg ausgedehnt, gibt das Integral Jd log 6 einen Wert
2ri. k, wo k eine ganze Zahl ist. Diese Unendlichkeitstellen von 6
sind die 2p - 2 festen Stellen, in welchen xl, *.., xp zu gleicher Zeit
je oo1 werden.
In der Flache T ist 6 ebenfalls unverzweigt, aber zweiwertig.
Beim Uberschreiten eines Querschnittes von T' kann 6 nur denselben
oder den entgegengesetzten Wert annehmen; sodaB 6 an dem Querschnittsystem von T' ein bestimmtes Faktorensystem ~ 1 besitzt. Dasselbe ist, wenn die Charakteristiken der beiden Abelschen Funktionen
(a) = (), (b)= (^) einzeln gegeben sind, nach Seite 11 aus der
Gruppencharakteristik (a + b) bestimmt. Wir nennen nun zwei Produkte 6 == -/, 6' == YF von je zwei Abelschen Funktionen zur selben
Gruppe gehirig, wenn sie an dem Querschnittsystem dasselbe Faktorensystem annehmen. Unser Ziel ist zu beweisen:
(A) da/ zwischen jep solchen Produkten von je zwei Abelschen Funktionen, die zu derselben Gruppe gehbren, eine lineare homogene Relation
stattfindet.
Erster Beweis. Da die Anzahl aller Abelschen Funktionen ]/A im
allgemeinen gleich 2P-1(2 — 1) ist, so ist die Anzahl aller Produkte
zu zwei, von einander verschiedenen:. 2P-1(2 - 1). [22P-(2p- 1) - 1] = 2P-2(2P-l- 1)(22p 1).
tfberhaupt gibt es 2P - 1 Faktorensysteme ~ 1 oder Gruppencharakteristiken; nimmt man nun an, daB zu jeder Gruppe gleichviel
Produkte gehoren - eine Annahme, deren Richtigkeit wir spater erkennen werden (1) -, so folgt fir die Anzahl der Produkte einer
Gruppe:
2p-2(2p-_ 1).