Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraischer Differentialien. 1

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Die Funktion s Z2 =- Z- nimmt dann irgend einen gegebenen Wert nur
ZS Z2
an zwei Stellen an. Man hat also wieder einen hyperelliptischen Fall. Hat nun
6a = Z an solchen zwei Stellen verschiedene Werte, ist also die Gleichung
2 6
F (6, s) =0
irreduktibel, so k6nnte 6 niclit der Quotient zweier zugehb5riger Funktionen cp sein,
entgegen der~oraussetzung. F(u, s) mutt daher emn vollstiindiges Quadrat sein; und,a nimmt ffir die zwei Punkte, in denen s einen gegebenen Wert annimmt, auch
nur einen Wert an. Indem man z4 durch Z4 ~ 2I2. ersetzt, kann man dann bewirken, daB a in den beiden Punkten a~, c a verscliwindet. Dann nimmt ftir gegebenes 6 + as87 bei beliebigem a, s nur noch zwei verschiedene Werte a, und
1 2
es wird F das Quadrat einer Funktion ~P (a, s), wo
1 2 1 2
Dies gibt, in den zi gesclirieben, eine zweite homogene quadratische Relation:
1 2
welche, mit zZ - Z2 = 0 zusammengenommen, noch eine dritte solche bestimmt.
Die drei Relationen bestimmen die algebraische Klasse niclit, stellen vielmehr im
zi-.Raum nur eine, doppelt zu nelimende, Raumkurve dritter Ordnung dar. Man
kommt so wieder auf den Fall (A), b), P. (14)]
Auf diese Weise lIilt sich die Gleichung ffir p = 4 in alien FMillen
auf die einfaehste Form reduzieren. Das Verfaliren ist audch auf p > 4
leicht ausdehnbar. Es lii8t sich n~imlich zeigen, daB sich aus,
homogenen Funktionen zweiten Grades zwischen p Veriiinderlichen immer,
und ftir p > 4 auf versehiedene Weisen, emn Aggregat kombinieren lasse,
das gleich einer Summe von h~chstens vier Quadraten linearer Ausdrllcke der Ver~inderlichen ist. Man kann so z. B. die Kriterien erhalten, daB algebraische Funktionen auf hyperelliptische Integrale filliren.
Die linearen Relationen zwischen je p, zur selben Gruppe
gehk~rigen Produkten zweier Abelsohen Funktionen.
(28. Febr., 3., 4. Mdirz:)
Wir gebrauchen fMr beliebiges p nun die Bezeichnung
X1-7, X2 ~PI I Xp~7
wo x,, x2 die Stelle der t, q von S. 15 vertreten, also eine Gleichung
2p-2
der Form F (x1,,X2) =- 0 existiert, und wo 4', in xj, x2 ausgedrilekt, die
dortige qp-Funktion ip von der (2p - 6)ten Ordnunug in Bezug auf die
Variablen X1 X2 vorsteilt.
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