Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraischer Differentialien. 1

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Die zugehoirigen Funktionen qp werden zu
cosZ + CiS ~ c2Z ~ C3.
[Verm~5ge einer Tra-nsformation
S Z:8S:0:1= 2: Z:1: Z _
geht F(s, z) == 0 in eine homogene Relation dritter Dimension zwischen z1, IZ2 I Z31 Z4
fiber, weiche, nach Zufiigung eines Ausdrucks der Form
(a, z1 + a2 z2 + a. ~3+a4 4) (z'l z3 z 2 -4)
die aligemeinste ihrer Art ist. Die 9 Moduin ergeben sich, wenn man s durch
eine lineare Funktion von s, und z durch eine soiche von z, mit willkiirlichen
Konstanten, ersetzt.]
b) Es m~gen von den secis, Nu~lwerten von 02 vier soiche von 01
sein. Dann wiirden:
01 und 02 fuir 4 Werte gpleichzeitig zu 0,
05,, 02 Yn 2,,,, Y1,~
03,, 04 1, 4,,,,, 0.
Die beiden obige'n Funktionen s und 0 wiirden bezw. 4-mal, 2-mal unendlich von der ersten Ordnung, und die einfacliste Gleichung wiirde
2 4 o.
F (S' o)
[Diese Gleichung ist nun entweder:
a~) irreduktibel; dann geh,5rt sie, niclit mehr zu p 4, sondern zum. hyperelliptischen Falle von p == 3, wobei sich auch s z: 8: Z: 1 niclit mehr wie, q' - Funktionen verhalten. Die Annalime (A, b) ist dann also unstatthaft. Oder:
2 4 1 2
~)reduktibel; F~(s, z) wird. emn vollst~ndiges Quadrat einer Funktion 0i(s, z).
Alsdann definieren die beiden Gleichungen
Z1z-; —z2z4 -— O, ( ~=O
nicht mehr die algebraisehe Kiasse; und. letztere Gleichung MU13 sich mittels
ersterer unter Wegschaffen eines linearen Faktors z4 auf die Form
-v, (a, z, + a. Z2 + a3 ZS + a4 Z4 + Z4 (a. Z. ~ a, Z4) = — 0
bringen, sodat$ noch eine zweite quadratische Relation, und damit audi eine
dritte, zwischen den vier Funktionen q, besteht: man hat den hyperelliptischen
Fall p = 4.]
c) Wenn von seclis Nuliwerten von 02 fiinf solche vonI 01 wiairen,
so wiirde fair den seclisten 03 zn. Null, und die Gleichung wiirde
1 5
F(s~Z) = 0
[eine Zn p = 0 gehtbrige Gleichung, so daB auch diese Annahme (A), c) unstatthaft ist].
Man hat -nun weiter den Fall zu untersuchen, daB die homogene
Funktion zweiten Grades der vier Gr6l8en (p sich auf nur drei Quadrate reduziert:
(B) y1 2+Y22~ Y 32 =O,
RiEmANN's gesammelte mathematische Werke. Naclitraige. 2