Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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16 ~~~I. Vorlesungen fiber die allgemeine Theorie

Da aber fnur (2m - 1) (p - 1) Konstanten enthillt, so nmfissen zwischen den
p Funktionen p [wenigstens]
P(P +)(P+m -lL).(2m-1) (p-i)
hoinogene Relationen mten Grades bestehe-nj (12)
Fur p =- 2 und 3 existieren keine Gleichungen zweiten Grades
zwischen den 'p.
[Abgeselien von dem hyperelliptischen Fall bei p =- 3 (s)
FRr p == 4 findet im aligemeinen eine homogene Gleichung zweiten
Grades zwischen den vier Funktionen 'p statt. Eine homogene Funktion
zweiten Grades von 4 Gr8B1en lI&A sich aber immer als Summe von
ha5cstens 4 Quadraten linearer Kombinationen dieser Gr~i1en darstellen.
Sei also
(A) Y1' + Y2 + Y3 + Y4' =O
die eine existierende Gleichung zweiten Grades, wobei die yj lineare
Ausdrticke in den 'p sind. Wir nelimen je zwei Quadrate zusammen:
Y + Y2i=2 1, Y3 +Y4i =22, Y - Y2i2= 3, -Ys+ Y4i== 24,
und liaben
21203 = 2224,
wo auch die zi lineare Ausdriicke in den den 'p sind.
ilieraus wflrde nur folgen, daB, wenn 22 =- 0 ist, auch zj, oder 23,
gleich 0 sein muB; und man kann nun, da die2zijeftir 2p - 2=6
Werte zn Null werden, verschiedene Annahmen machen.
a) Die ailgemeine Verteilung der 6 Nuliwerte von 22 ist die, daB
fUr drei der Werte ol, fMr die drei iibrigen 23 verseliwindet. Dann
-werden
z, und 22 fiir drei Werte gleichzeitig zu 0,
2'3 2Y 22 fl VI "17
Die beiden Funktionen
ZS 24 Z1 Z4
werden also nur fair je drei Werte unendlich von der ersten Ordnung,
und die Gleichung zwischen s, 2 wird zu
3 3
E(Si Z)=~0,
als einfachste Form der Gleichung unter den gegebenen Annalimen.