Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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I. Vorlesungen fiber die allgemeine Theorie

Bemerkung (10) zu Werke XXXI, S. 503, Z. 7 v. o. (1. Anft. XXX, S. 471,
Z. 16 v. o.).
(24. Febr.:)
Ebenso hat man fiir die Gruppe (yV) = (p + q + r) formal noch
die drei Zerlegungen:
(n+e+f+p+q+r), (n+e+f);
(n+e+g+p+q+r), (n+ e +g);
(n+ f+g+p+q+r), (n+f+g),
welche aber, da es nur 6 Zerlegungen der Gruppe gibt, mit drei der
frilheren iibereinstimmen miissen. Daraus folgt, daB zwischen den eingefiihrten 7 Charakteristiken d,e, f,g, p, q,r eine lineare Relation bestehen muB; nimlich die Gruppe
(d+ e + f +g+p+ q + r)
ist die ausgeschlossene Gruppe
/o o o\
\o o oJ
Setzt man
n +d', n+e' f, n+f n+g'
fur d, e, f, g, wobei also d, e', f', g' Gruppencharakteristiken werden,
so enthalten die Ausdriicke fiir die in (21) vorkommenden 22 Charakteristiken, sowie die der 6 Charakteristiken (k,), (ks), * *, (k2"), alle die
Charakteristik (n) explicite; daher fiillt aus den Ausdrucken der durch
Summierung irgend zweier von ihnen gebildeten Gruppencharakteristiken dann das (n) ganz heraus. Man kann sonach alle existierenden
26- 1 = 63 Gruppencharakteristiken linear zusammensetzen aus den
6 Gruppencharakteristiken
d', e' f, p, q, r
in der Form
ad'+ ac2e + aC f'+ a4p + a5q + a6r,
wo die cai die Werte 0 oder 1 haben, ohne alle zu gleicher Zeit 0 zu
sein; und da solcher Kombinationen iiberhaupt nur 63 existieren, so
sind die erhaltenen Kombinationen alle von einander verschieden.
Solche 6 Gruppencharakteristiken d, e', f', p, q, r sind daher linearunabhangig.
Hieraus ergibt sich weiter, daB man alle 26 Charakteristiken von
Thetafunktionen erhalt, wenn man (n) selbst nimmt, und auBerdem
alle, welche aus den ebengenannten 26- 1 Kombinationen von Gruppencharakteristiken durch Addition von (n) entstehen.
Hat man so (n) mit a der Gruppencharakteristiken d', e', f', p, q, r
verbunden, so ist, nach den in (21) und fir die (k) gegebenen Aus