Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraischer Differentialien.

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tionen, die in je zwei Punkten unendlich von der ersten Ordnung
werden; wenn p = 2, far ~ den Quotienten aus den beiden allein
existierenden Funktionen qp, der in zwei Punkten co1 wird, fur 6 eine
weitere Funktion, die in drei Punkten ool wird. Wir wenden uns
dem einfachsten Falle zu, in dem keine Funktion existiert, die in nur
zwei Punkten unendlich wird, zu dem allgemeinen Fall p = 3.
2. Allgemeiner Fall p = 3.
2p-2
5. Februar 1862: Aufstellung der homogenen Gleichung F(x, y, z) = 0 fur
den nicht-hyperelliptischen Fall p > 3 (s. Werke,,,Zur Theorie der Abelschen Funktionen fur den Fall p = 3", XXXI, S. 489-490; 1. Auff. XXX, S. 458-459).
7.- 26. Febr.: Der allgemeine Fall p =3. Von der homogenen Relation
vierten Grades zwischen den Quadraten dreier Abelschen Funktionen V/ ausgehend, werden die 28 Abelschen Funktionen und eine Zuordnung derselben zu
den 28 ungeraden Theta-Charakteristiken aufgestellt (s. Werke XXXI, S. 491-504;
1. Aufi. XXX, S. 459-472).
Hierbei sind nur folgende zwei Zusatze nachzutragen:(9)
Zusatz zu Werke XXXI, S. 496, Formeln (16), (17) (1. Aufl. XXX, S. 464-465).
(17. Febr.:)
Wir wollen den umgekehrten Satz beweisen, daB, wenn zwischen
den sechs Quadraten von Abelschen Funktionen eine Gleichung (16)
existiert, dann jpiq, wo p, q auf S. 496 (1. Aufl. S. 464) je in doppelter
Weise angeschrieben sind, ein zur Gruppe 1/xi geh6riges Produkt
Abelscher Funktionen ist.
Indem man zuerst ax, by, cz, a' b' c bezw. durch x, y, z, i, g
ersetzt, andert sich die Relation
(10) Yx+ +Yy + =
nicht. Wir nehmen daher zu (10) statt (16) die Relation
x + y+ + + + = 0.
Indem man den hieraus gewonnenen Wert von T in (10), oder
zg = xt + y + 2/y,
substituiert, erhalt man
(z + x + y) (z + t + q) =- x + y - 2xfty
d. h.
+ V( +x+ y)) (Z + + ) -+=y 0,
was die Umkehrung aussagt. Diese einfache algebraische Bemerkung
reicht zur Aufstellung aller Relationen zwischen den Abelschen Funktionen fur p = 3 hin.