Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraischer Differentialien.

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kann man auch, unter Einfihrung einzelner Buchstaben fir die Charakteristiken, so ausdriicken, daB man, wenn
(a)= (. p)
(b)-(=:,,') = (V~)
die Charakteristiken sind, zu denen nach der ersten Zuordnung bezw.
r/W und }/W gehoren,
(a + b) (, p - ) (a - b) (mod. 2)
setzt, also
(2a) ('::: 0) (2a(,0, '),
und die Charakteristik (a + b) der Funktion V zuschreibt, deren Faktorensystem an den Querschnitten a, und b, sich bestimmt durch
(_- l)V+, bezw. (- 1)+,'.
Dieselbe Charakteristik hat dann auch 1/.7 = i /V, da pt an den
Querschnitten nur die Faktoren + 1 erhalt. Bei einer Abelschen Funktion kann man noch nicht von bestimmten Faktoren reden, die sie an
den Querschnitten annimmt, da sie auch im Unendlichen verzweigt ist,
jene Faktoren also vom Wege abhangen.
Aufstellung der Ausdriicke der Abelschen Funktionen fiir die
einfachsten Falle.
1. Hyperelliptische Funktion.(8)
(3. Februar:)
Es ist zweckmaBig, die Gleichung zwischen s und z, F(s, z) = 0,
durch Einfiihrung rationaler Funktionen 6, g von (s, z) zuerst in eine
einfache Form F,(6, ) = 0 zu transformieren.
Was zunachst die Wahl von g betrifft, so fiihren wir, wenn eine
Funktion g existiert, die nur fiir zwei Punkte vor T unendlich von der
ersten Ordnung wird, d. h. im Falle der hyperelliptischen Funktion,
diese ein.
Sei dann o irgend eine andere rationale Funktion von (s, z), welche
nur nicht fur solche zwei Punkte, in denen g denselben Wert annimmt,
ebenfalls denselben Wert erhalt, also keine rationale Funktion von C
allein sei. Wenn 6 in m Punkten von T unendlich von der ersten
Ordnung wird, so wird die transformierte Gleichung von der Form