Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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10 I~~~. Vorlesungen fiber die allgemeine Theorie

r=~B. ~s
ip (s, z)'I
wo B eine von (si, z1) abh'aingpi ge Konstante ist.
Urn diese Konstante weiter zu bestimmen, beaehte man, daB dureli
Vertausehen von (s, o) mit (s,, z1) die beiden #-Funktionen nur ihr
Vorzeichen, der Quotient r sich also gar niclit i-indert. Dalier wird
(4) r = A~~~ipsz) ipsz)
wo A von (s, z) und (s1, z1) unabhii'ngig ist.
Der Quotient (p ist, nach seinem Ausdrucke (4), eindeutig
in fT mnd wird in je p - I Punkten von T unendlich klein, bezw. unendlich groB von der ersten Ordnung; bei U~berselireiten der Querselinitte nimmt, er die Faktoren + 1 an. Die Funktionen
welehen die ungeraden 4#-Funktionen proportional sind, nennen wir
Abelsehe Eunktionen *).
Die Abelsehen Funktionen sind durcli (4), (4') den ungeraden
4#-Funktionen in T' [aber in einer mit der Filiche fT sich iindernden
Weise] einzeln eindeutig zugeordnet; und zwar auf doppelte Weise:
einmal [direkt], indem eine Abelsehe Funktion J/T (s, z) existiert,
die in denselben p - 1 Punkten verseliwindet, in denen auch
als Funktion von (s, z), aul~er in (si, z1), verseliwindet - eine Eigenschaft, die mit dema Bestehen der Kongruenzen (2) gleiclibedeutend ist.
Dieser Abelsehen Funktionyp (s, Z) selireiben wir daher ebenfalls die
Charakteristik
Zn;
sodann [indirekt], indem, der Quotient zweier Abelsehen Funktionen
-1c~~)welehe zu den Charakteri'stiken (, und (, gehoiren, am
Quersehnitte a~ den Faktor (- 1)'v'"v, an b, den Faktor (-1)elvnv annimmt, wie der Quotient (4) aus den beiden entsprechenden 4k-Funktionen, und sich im librigen in fT stetig 'andert. Diese Eigensehaft
*) Fifihrt man an Stelle von s und z andere Variable rational ein, so erhuitt
eine Abelsolie Funktion einen Faktor, der eine rationale Funktion von s undz
ist; das, Yerh!Ultnis zweier soicher Funktionen bleibt ungeiindert.