Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraischer Differentialien.

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Aus den Gleichungen (2) folgt
(3) 2 (),2 c() _2 (o,..., ).
Die p- 1 GroBenpaare (65, ), jedes doppelt genommen, bilden also
(Art. 23 der Th. A. F.) 2p 2 durch eine Gleichung
q = qcT + c2 +2 + + Cpp == 0
verkniipfte Wertepaare; d. h. man kann die p - 1 Konstanten c: c2: **: cp
so bestimmen, daB die 2p- 2 Nullpunkte des Ausdrucks c1 qp +.. * * + cqgp
paarweise zusammenfallen, bez. in die (,,,), die Funktion p also fur
die p - 1 Wertsysteme (v, ~) unendlich klein von der zweiten Ordnung wird. Wahrend die Anzahl der willkiirlichen Konstanten in Tp
nur die Moglichkeit der algebraischen Aufgabe, die 2p - 2 Nullpunkte
einer Funktion (p paarweise zusammenfallen zu lassen, aufzeigt, konnen
wir nun schlieBen, daB die Aufgabe im allgemeinen, den ungeraden
Charakteristiken entsprechend, 2p- (2P - 1) Losungen zulaBt. Denn
diese Aufgabe fiihrt auch umgekehrt auf (3), also auf (2), und von da
auf (1). Die Ausnahmefalle, in welchen mehr Losungen existieren,
schlieBen wir vorlaufig aus.
Man bilde nun, unter Einfiihrung einer zweiten ungeraden Charakteristik
\n) ~,n n4 *'**n, n'
den Quotienten
(4) r =,
(n ) (u1 1- u,. Up - Up')
so wird derselbe, als Funktion von (s, z), da er an den Querschnitten
nur die Faktoren + 1 annimmt, namlich an a% den Faktor e-('-v,)
an bV den Faktor e(v'-') nach Art. 27 der Th. A. F. die Quadratwurzel aus einer rationalen Funktion von s und z. r wird ferner unendlich klein von der ersten Ordnung in den p - 1 Punkten (6, J),
in welchen der Zihler, als Funktion von (s, ), auBer in (s,,z1), verschwindet, und in welchen eine Funktion (p je von der zweiten Ordnung unendlich klein wird; und r wird unendlich groB von der ersten
Ordnung in den p- 1 Punkten (av', v'), in welchen der Nenner, als
Funktion von (s, z), auBer in (s, zx), verschwindet, und in welchen
ebenfalls eine Funktion qp je von der zweiten Ordnung unendlich klein
wird. Bezeichnet man diese beiden Funktionen mit p (s, z) und mit
V (s, z), so wird also: