Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraischer Differentialien.

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El 1 - 2 E;;
+( ( v?) (j (,u (mM ) (mFt'^.)+2j(rn ) (2C. t)
SP-T
namlich als Thetareihe mit der Charakteristik (,) = /
\8 I \El 2 1. I * p *> /
Die urspringliche Reihe hat also die Charakteristik (o' o' '
Die Anzahl aller dieser Thetareihen betragt 22, da jedes der
2p Elemente der Charakteristik die Werte 0 und 1 annehmen kann.
Die urspruingliche Thetareihe ist eine gerade Funktion. Um zu sehen,
welche der uibrigen gerade oder ungerade Funktionen sind, verwandle
man zunachst in. der obigen Reihe die m,- -2 bezw. in - +
wodurch der Wert der Reihe ungeandert bleibt; ersetzt man dann die
v, durch die -v,, so erhalt man nach Multiplikation mit e
wieder die urspruingliche Reihe; also
p
1,.,; E(- vI,- V,.,- vp)
(-)t, ' (, 7,...)')
d. h.: die Thetareihe ist eine gerade oder ungerade Funktion ihrer
Argumente, je nachdem ihre Charakteristik (:) = 1 E spi),gerade"
\f / \~^, ge uS
oder,,ungerade", namlich je nachdem,ee, - -0, O oder 1 (mod. 2).
In letzterem Fall geht die Entwicklung nur nach ungeraden Potenzen
der v, in ersterem nur nach geraden Potenzen der v. Die ungeraden
Funktionen verschwinden fur die Nullwerte der Argumente, die geraden
im allgemeinen nicht, sondern nur bei speziellen Werten der a,,,,.
Um die Anzahl a, der geraden, und 3p der ungeraden Charakteristiken zu bestimmen, beachte man, daB man jene Charakteristiken
aus den a _1 geraden und,p_, ungeraden Charakteristiken, welche
aus p - 1 Gliedern % bestehen, durch Vorsetzen eines Gliedes einer
der vier Arten