Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

der Integrale algebraischer Differentialien.

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13.-20. Dez.: ftber die Thetafunktion (Art. 17-22 der Th. A. F.).
6. Jan. 1862: Die ersten beiden Absatze von Art. 15 der Th. A. F., mit Anwendung auf die Argumente der Thetafunktion; Bestimmung der immer endlich
bleibenden Normalintegrale, und deren Einfuhrung in die Thetafunktion.
8.-13. Jan.: Art. 23 der Th. A. F. (mit Art. 16 und 5).
15.-17. Jan.: Art. 24 der Th. A. F. Zum Beweis des Satzes:,,daB ein beliebig gegebenes GroBensystem (e1,, ep) nur Einem Gro5ensystem von der Form
P P \
(v) kongruent gesetzt werden kann, oder aber unendlich vielen",
i i /
wird hier zuerst gezeigt, daB, wenn noch ein zweites kongruentes GroBensystem
P P \
A ),.. zip0') vorhanden ist, eine rationale Funktion i von (s, z) existiert,
1.
welche in den p zu den Integralen a() gehorigen Punkten unendlich groB von der
ersten Ordnung, in den p zu den 1(v) gehorigen Punkten unendlich klein von der
ersten Ordnung wird. Dies geschieht durch Darstellung von log g als Summe von
Integralen dritter und erster Gattung. Hieraus wird dann der Satz fiber das identische Verschwinden von 0 (u, - e, * - ) geschlossen.
Statt Art. 25 der Th. A. F. wird nur die Bemerkung gegeben:,,Die nicht immer endlich bleibenden Integrale algebraischer Funktionen
lassen sich durch Thetafunktionen ausdriicken, und hieraus lassen sich Relationen
zwischen den Integralen herleiten, die sonst schwierig zu finden sind. Hierin
besteht der Nutzen dieser Ausdrficke."
17.-22. Jan.: Ausdriicke algebraischer Funktionen von z durch Quotienten
zweier Produkte von gleichvielen Funktionen * (u1 - el,..), multipliziert mit
Potenzen der Gro5en eu (Art. 26 der Th. A. F.). (4)
24. Jan.: Quotient zweier Thetafunktionen (der Quotient in Art. 27 der
Th. A. F., soweit er als Funktion von (s, z) betrachtet ist).
Die 221' Thetareihen.(5)
(24., 27. Jan. 1862:)
Das im Zahler des Ausdrucks (Art. 27 der Th. A. F.)
( - gffi --- ^v1, v, * a ) -2 ^V,
e
(VI, VP), V
vorkommende Produkt kann, wenn die h gebrochene Zahlen vorstellen,
als allgemeine #-Reihe dargestellt werden, in der die Summationsindices
nicht ganze, sondern gebrochene Zahlen durchlaufen.
Der Exponent des allgemeinen Gliedes des Zahlers
P 2 pP p
(2 ) a,, + 2 v( ~ - g,:ri-2- hva m -- 2 hv
geht namlich durch Zufiigung der Konstanten