Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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I. Vorlesungen liber die allgemeine Theorie

successiv als Funktion von u = nvy, nv2, 7., nvp betrachtet, anwendet,
zerlegt sich dasselbe in eine Summe von nW Funktionen T, welehe alle
bei Anderung irgend einer der Groifen nv, um zi nur Faktoren annelimen, die nt Wurzeln der Eiuheit sind. Sei fUr eine dieser Funktionen:
2 ev i 7t
("17 "2n~u... ~ nv, + zi, ~ nv) == e n p (nvl, "v,ru,, nv,),
wo die c, die Werte 0, 1, * n, - 1 vorstellen; und sei
99(nv1,.., nv,) = eV' = i(nv,, n v.),
so aindert sich 4' (nv1,.nvp) bei Anderung irgend eines der nvv urn
zi nicht mehr, nimmt aber bei gleiclzeitiger Anderung der nv,,
nv2, n*, nv!, bezttglich urn
n ~~r)Ia,,,,,n,,2 u 7 n,,, I
da die q9 sich hierbei wie das Produkt f selbst verhalten, den Faktor
-2n v1 -2.2b27~)- 22ev av, "U- n
e m v
an. D. h. die Funktion V (nnv,, n v2, *, nv,,) ist bis auf einen konstanten Faktor definiert als eine Funktion #, gebildet mit den Argumenten
nt' ~ b(7r') + bpt, *,r) nv a
r v rn v
mit den Perioden zi, und mit den Periodizititsmoduln
/21lc na,l,,,, n 2,... a,,, (y==I, 2, -,p, ).
Die konstanten, noch zu bestimmenden Koeffizienten in dem Summenausdruck des Produkts durch die nP O-Funktionen werden von den b0m)
abh~ingen.
Auf diesem Wege ergibt sich eine Menge von Relationen zwischen
Thetareihen. Mit ihrer Hilfe beweist man fUr p = 1, daB der Quotient
zweier Thetareihen eine elliptische Funktion ist, d. l. der betreffenden
Differentialgleichung genflgt, und so hat Jacobi die Theorie der elliptisehen Funktionen behandelt. Einen analogen Weg ging Gipe1 fuir
p = 2; auBerdem gab er noch eine Tafel aller moSglichen Thetarelationen
bis zu einem gewissen Umfang hin. FUr p = 3 wiirde das Verfalren
ohne linzunahme algebraischer Prinzipien nicht zum Ziele filiren.
fibersicht Uiber die Torlesungen vom 13. November 1861 bis 24. Januar 1862.
13.-27. Nov. 1861 (8): Wiederholung aus dem Kolleg des Sommersemesters
1861 ilber Abelsehe Funktionen (aus allgemeiner Funktionentheorie).
2.-li. Dez.: AlgebraisEhes (Art. 6-12 der Th. A. F.).