Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

2

I. Vorlesungen fiber die allgemeine Theorie

f(u) == 9N@(U)+ ~ ~(U),
cpl(U) g Iff(U) + f(U~+Ci')), cp2(U) =BIff(U)- f(U~+9i)}
in zwei Teile, von denen bei Anderung von u um oi der eine den
Faktor ~ 1, der andere den Faktor - 1 erlangt.
Wendet man diese Zerlegung auf das Produkt
f (2p,, 2v2,, ~~, 2v'P),
betrachtet als Funktion von u = 2v1, an, so zerfiillt dasselbe ii zwei
Teile q, und 9'2; jede dieser Funktionen zerlegt sicl dann, als Funktion
von 2v% betracltet, wieder in zwei Teile; etc. Im ganzen zerlegt sich
also das Produkt f(2v1, 2v2, -.., 2v,) in eine Summe von 2P Funktionen
9p, weiche alle bei Anderung der 2v1, 2v2, *.., 2v, um rn nur Faktoren
+ 1 annelimen. Es m~ige fUr irgend eine dieser Funktionen sein:
(p (2 v 2,, 2 v, 2 v, + zi ~~ 2vp) == e 99 ((2vU ~, 2v1yl, ~), 2v))
wo die E E2, ** die Werte 1 vorstellen. Dann hat die Funktion
p
- V ~ S (2 v, 2 vp) (2 ve, 2 a7'
die Eigenschaft, sich bei Anderung irgend eines der 2 v,.*, 2 v ur
7ci niclt zu Rindern, bei gleiclzeitiger Anderung der 2 v, 2v2,..., 2vp
beziiglich ur
aber den Faktor 2a1,., 2a2, I..,
— 4v 26,4-2 2 -Qa,,,-2a,,arl,
e
anzunehmen. D. h. die Funktion ip (2v1, v.., 2 v.) ist his auf einen
konstanten Faktor definiert als eine Funktion O~, gebildet mit den
Argumenten:
2v1 + b, +2'eaV,, 2%v + b2 +2e7'av,2,.., 2v, + b,2 + Ze, a,,,,
und mit den Periodizitaitsmoduln
2 al,,u 2 a2) ~~, 2 ap,,, (u=1, 2, ~ ~,p)
Der konstante Faktor kann von den b abhuingen. Man erhilt also
durcl das Prinzip das Produkt
4..,,~, v,) ~ (v, + b,, v2 + b,, v, ~+ bp)
als Summe von 2P #-Funktionen, je multipliziert mit Faktoren der Form
e 7', und mit noch zu bestimmenden konstanten Koeffizienten.