Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

IV. Mathematische Noten.

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Dabei haben die dv() die Eigenschaft, daB sie an entsprechenden Stellen
des ersten, zweiten etc. Systems P sich verhalten wie E: 2x: E3 etc.
Man erhalt die Perioden der v() an den Schnitten a() gleich Null,
wenn v von,u verschieden ist und gleich ci e", wenn, = v ist. Setzt
man ferner
(a) ax b
CVaS)v ax (a)V,
a=1
so ist die Periode von v) am Schnitte b) gegeben durch elx b~(.
Nun folgen verschiedene Ansatze und Rechnungen, welche zeigen,
daB Riemann mit den Perioden der GroBen w() Thetareihen bildete,
welche er mit Q bezeichnet, und ebenso aus den Perioden der v) und
denen der u. Er untersuchte dann das Verhalten dieser drei Arten
von Thetafunktionen, wenn einfache Integrale fur die Argumente eingefuhrt werden und deren Beziehungen zueinander. Doch ist ein bestimmtes Resultat nicht erkennbar.
Auf andern Blattern finden sich Ansaitze, in denen zuerst das
System P fiber die Linie ap hinaus einmal, sodann das ganze so entstandene System fiber bp hinaus L-mal wiederholt wird. Es finden sich
Rechnungen, welche darauf hinweisen, daB Riemann diese Theta durch
Heranziehung von den Integralenfd log O and jlog ~ du analogen Integralen auf ihr Verschwinden auf dem System P' untersuchte. Nahere
Ausfihrungen beziehen sich auf A = 2, also einmalige Wiederholung
der urspruinglichen Flache. Diese tragen auch das Datum,Gottingen,
Oktober 1862".
Hier bildet er (v — el, v2 - e2, *., vp_ - ep_) und sodann die
Integrale fdlogs, flog du,, flog dv, und erhalt so, wenn die
Werte von v. an den 2p - 2 Stellen, fur welche = 0 ist, mit
P^)(- = 1,., * 2p - 2, v > 1, *,p - 1), entsprechend die von u% mit
a) (v = 1, *., p) bezeichnet werden:
2p-2 p
a) = (h- h) i2 + a,(g - g,) - 2aY,,,pgs
=1 1
(A) - M) + - i + b^4+9b,
1 j — 1
2p-2 p-1
= hi a -
P P tYt