Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

IV. Mathematische Noten.

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der Differentialgleichungen, welche bei beliebigem p der bekannten
Differentialgleichung
2aK IK
k (1 -- 2) - R + (1 - 3k) kK
entsprechen.
Pisa, 27. Marz 65. B. R.
Anmerkung. Diese Mitteilung fand sich zunachst in einem Entwurf im
Akte 26 (,,Varia"). Einer giitigen Mitteilung von Herrn F. Prym verdanken wir
dann den Text des in seinem Besitz befindlichen Originals und die weitere Nachricht, daB dieser Aufsatz als Antwort auf seine mundliche Anfrage von Riemann
niedergeschrieben wurde, als diesem das Sprechen schwer fiel. Die Mitteilung enthalt auch die Skizze einer Figur, welche jedoch hier aus rein technischen Griinden
etwas abgeandert wurde. Zum Gegenstande vgl. Th. A. F. Art. 12. Ferner F. Klein,
Vorlesungen iiber Riemannsche Flachen, I, S. 60-77 mit weiteren Litteraturangaben. W.
G. Uber Thetafunktionen, welche zu besondern Riemannsohen
Flachen gehoren.
Im Akt 19 (,,Abelsche Funktionen VI"), sowie im Akt 25 (,,Varia")
der Gottinger Papiere finden sich auf einigen Bogen Rechnungen und
Andeutungen mit spirlichem Text, welche das im folgenden auseinandergesetzte Problem behandeln. Es sind dies die Bogen 4', 5', 6' von
Nr. 195, d), von denen 4' das Datum,,Gottingen, Oktober 1862", 5' das
Datum,,Gottingen, Januar 1865" tragt. Ferner Bogen 4, 10, 29, 31,
32, 33 von Akt 25. Es sind verschiedene Spezialfalle behandelt, welche
jedoch in der Bezeichnung nicht immer deutlich getrennt sind. Auch
fur die Deutung der SchluBformeln reicht der Text nicht aus, jedoch
lassen sie etwa die Richtung erkennen, nach welcher Riemann vorzudringen suchte. Der Ansatz Riemanns gibt ubrigens auch einen
von den Thetafunktionen unabhaingigen Existenzbeweis fur die Wurzelfunktionen*).
Man denke sich eine Verzweigungsflache vom Geschlechte p in
der Gestalt eines Systems P von p Parallelogrammen, welche durch
2p - 2 Verzweigungspunkte zu einem Ganzen verbunden sind, gegeben und diese Flache uber ap hinaus fortgesetzt und A-mal wiederholt. Die Seite b wird dabei A-mal so lang und die Seiten a,, b, (v <p)
vervielfaltigen sich A-mal zu a(), b) (a = 1, *., A). Man sehe die Figur,
zu welcher sich Skizzen auf den erwalhnten Blittern finden.
) Vgl. Anm. (18) zu der in diesen,,Nachtragen" unter I publizierten Vorlesung.