Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

IV. Mathematische Noten.

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tber den Gegenstand selbst, der erst von Fuchs, Crelles J., Bd. 71 unabhangig
wieder aufgenommen wurde, und die Litteratur vgl. man Schlesinger, Handbuch
d. Th. d. linearen Differentialgleichungen, ~ 246 -250. Fur den Zusammenhang
mit Riemanns Untersuchungen fiber Abelsche Funktionen Th. A. F., Art. 25 (Werke,
S. 138 (131 der 1.Aufl.)), sowie den Schlu] von Nr. IV, F dieser Nachtrage. W.
F. Uber die Abbildung der Verzweigungsflaiche durch ein
Integral erster Gattung.
(Schriftliche Mitteilung Riemanns an Fr. Prym auf eine mundliche Frage.)
Ich babe in meinen Vorlesungen bemerkt, daB man die Zerschneidung der Flache T durch die p Linion a und b immer so einrichten
konne, daB das Bild (S) der Flache in der w-Ebene aus p Blattern
bestehe, deren jedes durch zwei Paare kongruenter Kurven begrenzt
ist, und 2p - 2 einfache Verzweigungspunkte habe. Dies Verfahren
ist aber nicht in allen Fallen das bequemste und zweckmaBigste, so
z. B., wie ich schon sagte, nicht fur die Integrale, die ich durch u*)
bezeichne, und auch nicht in Ihrem Falle. In diesen beiden Fallen
kann man eine einblattrige Flache (S) erhalten.
Sie wiinschen jedoch zu wissen, was aus der obigen p-blaittrigen
Flache fiir p =2 in Ihrem speziellen Falle wird.
Dies lalt sich am leichtesten iibersehen, wenn man an die Flache (S)
eine kongruente benachbarte Flache anfigt. In der Figur sind die
beiden benachbarten Flachen langs einer Seite der kleineren Parallelogramme aneinander gefigt, so daB diese zusammen ein (blau gezeichnetes) Blatt bilden. AuBerdem hat sowohl die Flache (S), als die ihr
kongruente ein anderes Blatt, welches fir die eine rot, ffir die andere
schwarz gezeichnet ist. Die Kreuzungslinien zweier Flachen haben die
Farben beider.**)
Sie werden nun leicht erkennen, daB man, wenn man zwei
Verzweigungspunkte, einen von (S) und einen der benachbarten
Flache, umkreist, erst nach drei Umlaufen zum Ausgangspunkt zuriickkommt.
Fallen also diese beiden Punkte zusammen, so erhalt man einen
Punkt, um welchen die Flache sich dreimal windet.
Ihr Integral kann als ein spezieller Fall angesehen werden von
dem Integral
p (8,z)dz
as
*) Die transcendent normierten Integrale erster Gattung.
**) In der Figur sind hier die blauen Linien durch Strichelung, die roten
durch Strichpunktierung gegeben.