Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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IV. Mathematische Noten.

Setzt man
(5) wX dz,
dw = 1 Cdz
so wird d -w -J-d- das zweite Integral erster Gattung mit den
Perioden y1', Y2; /3', Y4, und es ist
(6) Y1Y2'- 2YIh'+ Y3Y4' Y40YB 0.
Vollzieht nun x der Reihe nach eirien positiven Umlauf ur
4, y, j, a, so daB der Integrationsweg der y bestaindig vor dem Punkte x
ausweieht, so erhiilt man die Substitutionen, welche die Perioden bei
diesen Umlilufen erleiden, indem man die Integrale auf dem abge'anderten Weg mit Hilfe von (4) durch die urspriinglichen ausdrtickt.
(In der Figur sind die im zweiten Blatt verlaufenden Linien gestrichelt.)
Man erhilt so
y1 geht iiber in y1 Y Yi - - 2Y2 - 2y3
Y2 Y?I II Y2 Y2 2Y1~y2+ 2y3 2Y1~+ 3y2+ 2y3
YB,,,,, y - 2Y4 3y 3 - 2Y4 YB YB
4 1 Y4 2Y3Y-4 y 2 Y+2y3 + y4 2y1 + 2y2 + 2y8
+ Y4
Bildet man nun die 6 Verbindungen (yiyk'- yiY) = (ik), so erleiden auch diese lineare homogene Substitutionen, und zwar folgende:
4r r a
(12) (12) (12) (12)~ 2 (13) (12)~ 2 (23)
+ 2(13)
(43) (43) (43) (43) + 2 (13) (43)+ 2 (23)
-2(13)
(13) (13)-2(14) 3(13) (13) - (13) -2(23)
-2(14)
(24) (24) 2 (23) (24)~2(14)-2(12) -2(12)- 2(23)
- (24) - 2(23) ~ 2(34) +2(14)+3(24)+2(34)
(14) (14) 2 (13) 2 (13)~+ (14) 2 (12)~2(13)
- (14) -2(24)- (14) -2(34)
(23) (23)-2(24) 3(23) 2 (13)~ (23) 2 (13)~ 3 (23)
-2(24)
Anmerkung. Das Blatt in Riemanns NachlaB3 enthillt nur die Formein mit
einigen hier verbesserten Versehen und einer verwischten Bleistiftskizze, aus
weicher das Verfahren zu erkennen ist. Die zweite Tabelle ist Uiberdies Riickenhaft.