Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

IV. Mathematiselie Noten. 9

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D. Integrale einfacher totaler Differentialien erster Gattung, beziiglich
eiuer algebraischen Fliache.
(Aus Akt Nr. 19, Konv. 196,, d); Nr. 26, Bogen 1.)
An einigen Stellen der Papiere (Nr. 195, b), Bogen 44, 45; Nr. 25,
Bogen 27, 30) finden sicli Bildungen von Integralen erster Gattung,
die zu einer vollst'aindigen Schnittk-urve zweier algebraischer Filichen,
oder zu der Kurve, die aus q Gleichungen mit q + 1 Yariabeln entstelit, gehbren; mit Abzahlungen fiber die Zahl der Verzweigungspunkte.
Ebenso findet sich schon (Nr. 25, Bogen 27) der Begjriff eines zu
einer algebraisehen Fidehe F = — 0 geh~rigen Doppelintegrals erster Gattung,
mit Normierung ffir die niclit-homogene und fuir die homogene Form
der Gleichung F = 0. Dabei ist aber nur an isolierte Doppelpunkte
der Filche gedacht, und irrtiimlich angenommen, da8 die Ziahlerfiinktion
p9 des Differentialausd-rucks fflr diese Doppelpunkte verseliwinden mllsse.
Analog (Nr. 19., b)) das m-fache Integral 1. Gattung ffir eine algebraische Gleichung mit m + 1 Yariabein.
Der Begriff des totalen einfachen Differentials erster Gattung flir
eine algebraische Fldche ist von Riemann gefal~t und in einigen Rechnungen verfolgt worden.
Fiur die niclit-homogene Gleichungsform
rn n r
F(x, y, Z) == 0
finden sich die Formeln (Nr. 19., d)):
1Y(z) F7(x) F1(y)
rn-i n-2 r-2
wo = (x, y, z) etc., und
rn-2 n-2 r-2
tF'(x) ~'iF'(y) + F'(z):= F. p(x, y, z);
und aus der Integrabilitiitsbedingung:
a~0
ax ay CZ
t F'(x) + qF'(y) + ~F'(z F.- + an+
Ox ay az
Aus der homogenen Form von
F(x,y, Z) 0,
niimlich
wird