Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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III. Vorlesungen fiber die hypergeometrische Reihe

Ferner gehen K und K' ineinander fiber, wenn k2 und 1- k2
miteinander vertauscht werden. Damit folgt dann aus der angegebenen
K
Reihenentwicklung, daB der imaginare Teil von K konstant, und zwar
+ i wird, wenn k2 von 1 bis oo geht, die Werte von K'/K also auf
einem Halbkreis vom Radius 1/2 liegen, dessen Mittelpunkt im Punkte
- ji gelegen ist, und der daher die beiden geraden Linien, namlich die
reelle Achse und die durch den Punkt - i zu ihr gezogene Parallele,
beriihrt. Diese Figur wiirde uns die Werte veranschaulichen, welche
K'/K annimmt, wenn k12 die Werte mit positivem imaginarem Bestandteil annimmt. Ftigen wir dazu das Gebiet der Werte von K/K, welche
den Werten mit negativen imaginaren Bestandteilen entsprechen und
welches langs der Linie k2 =- 0 bis k2 =- 1 mit dem ersten zusammenK'
haiingt, so gibt uns das Innere dieser Figur die Werte, welche -K
annimmt, wenn k2 die ganze Ebene durchlauft, ohne jedoch eine der
Strecken 0, - o oder 1, oo zu uiberschreiten.
K'
Wir konnen nun auch untersuchen, welche Werte K annimmt,
wenn k2 eine dieser Strecken iiberschreitet und also z. B. einen posiK'. K'
tiven Umlauf um den Punkt 1 macht. Dann geht i uber in 2 iK'
und wir haben nur nachzusehen, welche GroBen K- K2iK durchlauft,
wenn K die erste Figur durchlauft. Wir wiirden dann finden, daB
dieses GroBengebiet ebenfalls von einem Halbkreis, welcher fiber der
Strecke 0, i steht und drei kleineren Halbkreisen, von denen einer
fiber -i, i und die beiden andern fiber — i, 4i und 4-i, 0 stehen, begrenzt wird.
Dem Werte k2 = 0 wiirde jetzt der Wert 4-i entsprechen, dem
Werte k2 = I der Wert -i. Wir wuirden fibcrhaupt k bestimmen
koinnen, wenn K gleich wird /- 1 multipliziert mit rationalen
K'
Zahlen, bloB dadurch, daB wir untersuchen, wie sich die Funktion K
andert, wenn k2 immer wieder denselben Wert, aber auf verschiedenen
Wegen, annimmt.
K'
Wenn wir auf diese Weise die Funktion yK verfolgen, so warden
wir auch finden, daB, wie weit wir auch die Funktion fortsetzen moigen,
- doch jeden Wert nur einmal annimmt, wenn k2 beliebig oft sich
um die Punkte 0, 1, oo herum bewegt. Die Funktion nimmt also jeden
komplexen Wert [mit positivem reellem Teil] nur einmal an.