Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

III. Vorlesungen fiber die hypergeometrische Reihe.

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9.
Wir wollen noch die ganzen elliptischen Integrale etwas ausfiihrlicher betrachten und untersuchen, wie sich K und K' andern, wenn
c2 nach einem Umlauf um den Punkt 1 wieder denselben Wert annimmt.
K wirde dann iibergehen in ein Integral von 0 ausgehend positiv um
k-2 herum und wieder nach 1 zuriick, und wenn wir den letzten Teil
dieses Integrationsweges auf das Stuck von 1 bis k-2 zusammenziehen,
so erhalten wir fur den neuen Wert von K
1
j - x- (1 - )-'/2 (1 k2x)-"/ dx
o
k-2
- 2 x- (1- 2x)' -(1- k(lx)- 1 x x = K- 2iK'.
1
Das Integral fir K' wird dabei gar nicht geandert. Bei einem
positiven Umlauf von k- 2 um den Nullpunkt geht K iiber in
3K- 2iK' und iK' in 2K- iK'. Ein positiver Umlauf um den
Punkt oo, oder was dasselbe ist ein negativer um die Punkte 0, 1,
wiirde K unverindert lassen und iK' iiberfuhren in iK' + 2K.
Die Formeln, welche die Abhangigkeit der ganzen elliptischen
Integrale vom Modul k2 geben, sind von Jacobi in den Fundamenta
nova theoriae functionum ellipticarum entwickelt worden. Er nahm als
K'
Variable q =e K, aber in der Differentialgleichung fiihrte er bereits
den Quotienten K'/K, also den Quotienten zweier Partikularlosungen,
als Variable ein. Wenn wir nun K'/K als Variable einfiihren und k2
als Funktion derselben betrachten wollen,(8) so miissen wir fragen: Wie
verhalt sich K'/K, wenn k2 die Werte mit positivem imaginarem Teil
durchlauft?
Wenn k2 von 0 bis 1 geht, so bleibt K'/K reell, und zwar wird
es oo fur k2 gleich 0 und 0 fur k'2 = 1- k2 -= 0, also k2= 1.
Nun laBt sich K in der Nihe von I2 = 0 nach ganzen positiven
Potenzen dieser GroBe entwickeln und K' darstellen in der Form
- logki2 - (a 0+a 2+.-.).
Daraus erkennt man, daB wenn k2 durch Werte mit positivem
imaginirem Teil iibergefuhrt wird in - k2 und dann nach - oo geht,
K Werte annimmt, deren imaginairer Bestandteil bestandig gleich — i
ist, also die Strecke 0, - oo auf eine zur reellen Achse parallele
Gerade durch den Punkt - i abgebildet wird.