Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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III. Vorlesungen fiber die hypergeometrische Reihe.

d\ u du 1 1/2 12 3/2
(1- k 2) (dg- - k2 k4 7 k27xv (1 x) (1 -- Ox)
(1 — )(2 log )- (2d logi ) 4 2
als Differentialgleichung, welcher das unbestimmte elliptische Integral
genugt.
Die allgemeine Losung ist dann
u + CK+ C'K'.
Sehr viele Eigenschaften der ganzen elliptischen Integrale wurden
erst gefunden durch die Untersuchung des unbestimmten Integrals, und
in der That ist dieses eine sehr einfache Funktion des Parameters x.
Ebenso verhalt es sich mit dem allgemeineren Integral
I = a (1- s)6 (1- xs)cds.
0
Es ist eine viel einfachere Funktion von s wie von x und die
bestimmten Integrale zwischen den Grenzen 0 und 1 oder 1 und x-1
treten dann bei der Untersuchung des n als Funktion von s auf. Die
allgemeine Losung der Differentialgleichung ist dann
1 1/x
+ Cf+ c'f.
0 1
Auf die Differentialgleichungen, welche sich nach der auseinandergesetzten Methode durch bestimmte Integrale losen lassen, kann man
dieselben Bemerkungen anwenden. Aber auch bei solchen, welche sich
nicht durch bestimmte Integrale losen lassen, kann man ahnlich verfahren.
Sei die Differentialgleichung
dny - ly
aO dn + a, d n- +... + a y? = 0
odxf ldxn ~~I
und setzt man in die linke Seite fur y eine Funktion von x, welche
einen Parameter enthalt, so wird die rechte Seite eine Funktion von x
und dem Parameter, welche wir mit X bezeichnen. Betrachten wir
dann die Differentialgleichung
dnr d - (,r dn -.,7
ao0 d + a d +a2 -d + +aTI =X,
do dx- d.so wird bei passender Wahl von X und dem Parameter sehr haufig q
eine viel einfachere Funktion vom Parameter sein als von x. Diese
Transcendenten spielen eine sehr wichtige Rolle fur die Theorie dieser
Differentialgleichungen.