Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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8Il. Vorlesungen fiber die hypergeometrische Reihe,

Wir erhalten also fUr das Integral
$
g=fSa (1 s)b(1 - xs)c ds
die Differentialgleichung
x) d~ + (~ b~1- ( c (1 + a"x
(d logx) 2+ (al+ b + 1 (a - c + 1)x) a V-g +
- CXSa (1 +I S)b +1( - XS)
8.
Wir wollen annehmen, wir haitten eine Differentialgleiehung von
der Form
f(x) dy + g(x) + h(x)y = O
und wollen versuchen, unsere Differentialgleichung durch ein bestimmtes
Integral zu l0sen.
Dies gelingt selr h5iufig durch den Ansatz(')
y == - s)avds8,
wobei v eine Fnnktion von s allein ist, und die Greuzen von x unabh~ngig sein sollen. Wir substituieren den Ausdruck in die Differentialgleichung und bekommen dann unter dem Integralzeichen
V (a(a -1) f(X) (X - S)a-2 + cg(x) (x - s)1 + h(x) (x - s),x)
Wir ko5nnen nun f(x), g(x), h(x) nach Potenzen von (x - s) entwickeln,
und wenn die Funktionen f, g, h ganze rationale Funktionen sind, so
werden wir nur eine endliche Anzahl von Gliedern erhalten von der Form
CSP(S) (x - s)'+4v.
Durch partielle Integration koSnnen wir dann den Exponenten von (x - s)
beliebig in jedem Glied erlihhen und so erreichen, dal wir unter dem
Integralzeichen einen Ausdruck bekommen
(X - s)V + n P(v),
wo P(v) — 0 eine homogene lineare Differentialgleichung fMr v ist,
weiche zwar noch den Parameter a, aber nicht meehr x enthiilt.
Die Grenzen mussen daun so gewiialt werden, daB der Ausdruck,
welcher bei der partiellen Integration heraustritt, an diesen verschwindet.
Wenn wir z. B. setzen
f(x) = a, + a, x + a2x, g(x) = b + b,x, h(x) =o
so wurde die Entwicklung von f(x) nach Potenzen von (x - s) nur
drei Glieder, die von g(x) nur zwei erhalten und der hoichste Exponent von (x - s) wuirde a sein.