Petri Philomeni de Dacia in algorismum vulgarem Johannis de Sacrobosco commentarius. Una cum algorismo ipso edidit et praefatus est Maximilianus Curtze.

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was 3.4 oder 3.5 sei. Es war also, wie man daraus ersieht, auch
noch am Ende des XIII. Jahrhunderts fiblich, das Einmaleins nur
bis 5.5 einzuiiben, obwohl wir gerade von PETRUS DE DACIA eine
Darstellung des grossen Einmaleins bis 49 * 49 besitzen.
Einen weiteren bedeutenden Schritt fiber SACROBOSCO hinaus
hat PETRUS auch in Bezug auf die Progressio gethan. Bei
SACROBOSCO werden nur diejenigen Falle der arithmetischen
Reihe behandelt, welche von 1 oder 2 ausgehend im ersten
Falle 1 oder 2 als Differenz besitzen, in zweiten Falle dagegen
nur 2. Es wird dann noch unterschieden, ob die Gliederzahl
gerade oder ungerade ist, und auf diese Weise vier ganz verschiedene Regeln fuir die Reihensumme gegeben 1). PETRUS jedoch verwirft den ganzen Abschnitt fiber Progressio, ersetzt
ihn durch einen nur sechs Zeilen fillenden neuen Text, und legt
diesen seinem Commentare zu Grunde. Er hat den Begriff der
arithmetischen Reihe vollig klar erfasst. Nach ihm kann die
Differenz jede beliebige Zahl sein, man kann sie mit einer beliebigen Zahl beginnen lassen und mit einer willkilhrlichen Zahl
von Gliedern beschliessen. Futr sie geiten nur die beiden Regeln:,Ist die Summe des ersten undc letzten Gliedes gerade,,so multipliciert man ihre HIilfte mit der Gliederzahl; ist sie,ungerade, die ganze Summe mit der halben Gliecderzahl, das
Resultat ist die Su)nmme der Reihe". Es sei sicher, sagt unser
Verfasser, dass entweder die Summe des ersten Lnd letzten
Gliedes, oder die Gliederzahl, beziehungsweise auch beide gerade
Zahlen wtirden. Letztere Bemerkung ist um so werthvoller, als
dieselbe noch PROSDOCIMO DE' BELDOMANDI (Anfang des XV. Jahrh.)
unbekannt war2), der sich deshalb bei ungerader Anzahl der
1) Die progressio, deren Anfangsglied 1, und deren Differenz 1 ist, heisst
naturalis; diejenige mit der Differenz 2 intercisa. Den letztern Ausdruck erweitert PETRUS auf jede Progression mit anderer Differenz als 1.
2) Die Formel des BELDOMANDI ist nach FAxARo (Bullettino Boncompagni
XII, S. 135): S= -(a-L z)n + a-z, wo a das Anfangs-, z das Endglied
bedeutet, die Anzahl der Glieder aber 2n +1 ist.