Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~ 1. VIII. Abschnitt. Die Ellipse als persp. affine Kurve des Kreises usw. 81
Grundriß des Körpers ist kongruent mit dem vorhin in TT1 gebrachten
Bild. So ist die Methode des vorigen Absatzes aufs engste verwandt mit
dem Dürerschen Verfahren zur Herstellung einer für sich allein anschaulichen einzelnen Orthogonalprojektion mittels Drehung um eine zu TT1
senkrechte Achse.
VIII. Abschnitt.
Die Ellipse als perspektivisch affine Kurve des Kreises. Die
perspektivisch affinen Kurven der Kegelschnitte.
~ 1. Die Ellipse als Orthogonalprojektion eines Kreises. In
einer Ebene E, die mit der Projektionsebene TT1 den Winkel c, bildet,
sei ein Kreis k vom Mittelpunkt M und vom Radius a gegeben. Die Gesamtheit der ersten Projektionslote, welche von den Punkten des Kreises
ausgehen, bildet einen schiefen Kreiszylinder. Sein Schnitt k' mit TT,
ist eine Ellipse.1) Alle durch M gehenden Sehnen des Kreises werden
in M halbiert. Deshalb werden auch alle durch M' gehenden Sehnen
von:' in M' halbiert, sie heißen Durchmesser der Ellipse. Die beiden
durch M senkrecht und parallel zu et gehenden Vertikalebenen sind
Symmetrieebenen für den Zylinder der Projektionslote. Ihre Grundrißspuren sind darum Symmetrieachsen für k'. So hat die Ellipse eine zu
el senkrechte und eine zu e. parallele Symmetrieachse. Die zu el parallele
Symmetrieachse hat dieselbe Länge 2a wie der Kreisdurchmesser, die zu e1
senkrechte Symmetrieachse hat die Länge 2 a coscl, wofür 2b gesetzt
werde. Die vier Punkte, in denen k' die Symmetrieachsen trifft, heißen
die Scheitel.
Im Punkte P des Kreises k sei eine Tangente t gezogen; sie liegt
in der Ebene E. Die erste projizierende Ebene von t berührt den projizierenden Zylinder des Kreises in der durch P gehenden Mantellinie.
Darum berührt die Projektion t' von t die Ellipse k' in P' und liegt im
übrigen ganz außerhalb von k'. (Die Ellipse ist eine konvexe Kurve).
Weiter treffen sich t und t' auf der Spur el von E.
1) Will man diesen Satz aus der Theorie der Flächen zweiter Ordnung nicht
voraussetzen, dann kann man auf die Benennung der Kurve vorläufig verzichten. Die
Parameterdarstellung und die Gleichung, welche in ~ 3 aufgestellt werden, liefern
dann den Nachweis, daß die Kurve eine Ellipse ist.
F. v. D alwigk, darstellenle Geometrie. I. 6