Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 27-28. VI. Abschnitt. Körper in einfacher Stellung.. 67
gemacht wie beim Dodekaeder (~ 23, 24). Man kommt so aus LQ zu H'
und der Höhe von H, dann zu K' und der Höhe von K. Dabei ist
aber zu beachten, daß man die Lage von K' unmittelbar angeben kann.
Denn das Dreieck KL3M liegt im Raume so, daß sein Grundriß ein zu
ABC kongruentes Dreieck ist, dessen Ecken mit A, B, C zusammen die
Ecken eines regelmäßigen Sechsecks bilden. So kennt man von dem zu
ABHoKo G perspektivisch affinen Fünfeck ABH'K'G' den Punkt K' und
kann daraus dieses ganze Fünfeck zeichnen. Man findet dann auch zuerst
die Höhe von K, dann (aus ähnlichen Dreiecken wie in ~ 24) die von
1H oder G. - Nachdem die beiden Projektionen von A, B, C, von G,
H, I und K, L, M gefunden sind, bleibt nur noch die Bestimmung der
Punkte D, E und F. Diese gehören der zweiten Höhenlage an, sie liegen
ebensoviel über TT1 als Gr,, i, unter K, L, IM, ferner bilden D', E',
F' mit G', H', l' die Ecken eines regelmäßigen Sechsecks.
Auch für die Höhenunterschiede der vier Horizontalebenen, auf welche
sich die Eckpunkte verteilen, gibt es wieder einfache Formeln. Hierüber
ist die im Anfang dieses Paragraphen angeführte Literatur zu vergleichen.
~ 28. Die Projektionen eines Würfels. Der Würfel soll 'mit einer
Ecke A auf rlT stehen und die von A ausgehende Diagonale soll vertikal
stehen, die Kantenlänge s ist gegeben.
Die Diagonale hat die Länge d= s 1/3 und deshalb bilden die drei
von A ausgehenden Kanten AB, AC und A ) mit ihr einen Winkel (p,
dessen Kosinus gleich - ist. Man konstruiert zunächst in besonderer
Figur s 1/2 und mittels eines daran anschließenden rechtwinkligen Dreiecks s 1/3. Dann tritt in diesem Dreieck der Winkel (p auf und man
erhält in der Figur leicht s cos r und s sin; beiläufig ist s cosp
= s -= d. Der Höhenunterschied der Punkte B, C, D gegenüber
A ist s cos p und die gemeinsame Länge der Grundrißprojektionen der
drei Kanten AB, AC, AD ist si sin g. Außerdem bilden die Grundrißprojektionen der drei Kanten untereinander Winkel von 120~. Hieraus
erhält man für jede der drei genannten Kanten beide Projektionen.
In den Kanten AB, AC, AD stoßen drei Würfelflächen zusammen,
diese Quadrate haben Parallelogramme als Projektionen und daraus ergeben sich die Projektionen vollständig; so daß nun auch E', F', G,
E", F", G" gefunden sind. E, F, G haben gemeinsame Höhenlage; sie
liegen doppelt so hoch über TT, als die Ecken B, C, D. Die Projektionen der obersten Ecke H sind schon bekannt. Daraus lassen sich die
Projektionen der drei in H zusammenstoßenden Würfelflächen zeichnen;
es sind wieder Parallelogramme.
Alle zwölf Kanten des Würfels haben gleiche Neigungswinkel gegen
TT1, deshalb hat jede Würfelfläche einen rhombischen Grundriß, und man
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