Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 24-25. VI. Abschnitt. Körper in einfacher Stellung. 65
sich auffassen als Umlegung einer Figur, die in einer Seitenrißebene
senkrecht zu AB auftritt. Dadurch entspricht das Verfahren dem Schluß
vor II. Abschn. ~ 23; nur sind dort außer der Umlegung des in E liegenden -Dreiecks die beiden Ebenenspuren e1 und es gegeben, während hier
die Grundrißspur der Ebene von AFLGB, die Umlegung dieses Fünfecks und der Punkt F' vorliegen.
Nun kennt man die Aufrisse von F, G... K und L, M... P. Die
oberste Fläche QRSTU hat einen Grundriß, dessen Ecken mit A, B, C,
D, E ein regelmäßiges Zehneck bilden. Die Aufrisse von Q, Ri... U
folgen aus der bekannten Höhe. Die Projektionen aller Kanten des
Körpers sind dann leicht zu zeichnen, dabei sind je zwei Gegenkanten
zueinander parallel. Früher wurde der Spurpunkt Y von LF als Schnitt
von AB und DE erkannt. So haben LF und OK denselben Grundrißspurpunkt. Ahnliches gilt für andere Seitenpaare. Das ist für den Aufriß zu beachten. Auch ist über die Sichtbarkeit leicht zu entscheiden.
Für die Höhen der Eckpunkte gelten noch mehrere interessante Beziehungen, welche auch Proben liefern:
Die Linie AF hat die Länge s, und ihr Grundriß AF' hat die
Länge r' - r = so (nach vorigem Paragraphen). Darum ist die Höhendifferenz von 1 und A gleich 3]/s~- s d. h. gleich ir (~ 22). Der
Höhenunterschied der ersten und zweiten oder der dritten und vierten
Höhenlage ist deshalb r. Ferner ist die Seite FL gleieh s5 und ihr
Grundriß ist nach früherem so'= r. Der Höhenunterschied ihrer Endpunkte ist demnach J/S2- r2 = si So hat die zweite und dritte Höhenlage den Höhenunterschied so- = r' - r, oder die erste und dritte den
Unterschied r'. Die ganze Höhe des Dodekaeders ist r + r'.
~ 25. Eine Nebenbetrachtung. Bei der Betrachtung der Höhenunterschiede traten zwei rechtwinklige Dreiecke in vertikalen Ebenen auf, beide
haben die Hypotenuse s5, das erste hat die horizontale Kathete s0 und die
vertikale Kathete r, das zweite hat die horizontale Kathete r und die
vertikale si0. Beide Dreiecke sind deshalb kongruent. AF und FL haben
komplementäre Neigungswinkel gegen TT1. - Wichtiger sind andere Paare
von Geraden mit komplementären Neigungswinkeln gegen UTT. Früher wurde
gezeigt, daß F'E senkrecht zu AB ist; die Symmetrieverhältnisse der
beiden konzentrischen Zehnecke im Grundriß bewirken daher, daß F', E, 0'
und Q' auf einer Geraden liegen, welche zu AB oder zu EC senkrecht
ist. Die beiden Diagonalen EF und EO von Dodekaederflächen liegen
demnach in einer zu EC senkrechten Vertikalebene. Ferner hat man aus
den regelmäßigen Zehnecken F'L' E W, und weil F'L' = s' =r ist,
ist EF'L'W ein Parallelogramm, d. h. EF' = WL' = r'. So hat die
Flächendiagonale E i die Grundrißprojektion r', und die in derselben
F. v. D a li g k, darstellende Geometrie. 1. 5