Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

64 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 23-24.
die Lage, welche es am Körper besitzt, so ist AI' symmetrisch zu AB
und AE, deshalb liegt F' auf der Verlängerung des Radius WA des
dem Basisfünfeck umbeschriebenen Kreises. Damit bestimmt sich F' als
Schnitt dieser Verlängerung mit dem von Fo auf AB gefällten Lot. Die
Symmetrie von AB CDE und ABGoLoFo (mit der Symmetrieachse AB)
hat zur Folge, daß das von Fo auf AB gefällte Lot verlängert durch E geht;
man könnte demnach sogar die Umlegung von ABGLF ersparen. Da
F' sich auf die besprochene Art durch einen ziemlich spitzen Schnitt
ergibt, nimmt man noch hinzu, daß F' auf der Verlängerung des von B
auf AE gefällten Lotes liegt, genau wie auf der Verlängerung des von
E auf AB gefällten. - G' folgt aus der Symmetrie zu F', L' folgt aus
der Affinität, indem L'_F' die Affinitätsachse AB in demselben Punkt Y
trifft, wie LF, d. h. wie LoFo. H'.... K', M'... P' erhält man leicht.
Dabei hat man eine wichtige Beziehung als Probe zu beachten: Die Eckpunkte der zweiten und dritten Höhenlage des Dodekaeders
liegen auf kongruenten Kreisen, deren Grundrisse zusammenfallen.1) Deshalb
liegen F', G', X', l', K', und L', M', N', ', P' auf einem Kreis, und sie
bilden, wie man leicht sieht, zusammen die Ecken eines regelmäßigen
Zehnecks. Der Radius r' dieses Kreises läßt sich sofort angeben. Die
Seite des Fünfecks FGHIK ist gleich der Diagonale ds des Basisfünfecks,
d. h. es ist r': r = d5: s5 oder r' = - ((/5 + 1). Für den Kreis vom
Radius r' ist die Zehnecksseite s, gleich {r' (5 - 1) r; ferner ist
'- r -r (/- 1 ) s= s. Deshalb hätte man nicht von der Umlegung
AFoLoCGB auszugehen brauchen, um die Grundrisse von F... K und L... P
zu bestimmen. Jedoch hat das Verfahren mit der Umlegung den Vorteil,
daß man' die Höhen der einzelnen Eckpunkte sehr elementar erhält. Die
Eigenschaft r' = r + sie ist aber unbedingt zu einer Probe zu verwenden.
~ 24. Fortsetzung. Die Bestimmung der Höhen von F...K,
L... P im Anschluß an das Hinaufdrehen der umgelegten Fläche erfolgt
so: Die Höhe von F ist Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck, welches
den senkrechten Abstand FoX des F von der Drehungsachse AB zur
Hypotenuse und die Strecke F'X zur andern Kathete hat2). Dieses in
vertikaler Ebene liegende Dreieck ist in der Figur umgelegt gezeichnet,
beiläufig enthält es bei X den Neigungswinkel der Fläche AFLGB gegen
TT1. Die Höhe von L verhält sich zu der von F wie die Abstände des L
bzw. F von AB, wie LoZ: FoX, daraus ist in der Figur die Höhe von
L gefunden. Die Umlegung des Dreiecks FF'X und das dazu ähnliche
Dreieck, welches zur Bestimmung der Höhe von L über 1T1 diente, lassen
1) Siehe den dritten Absatz dieses Paragraphen.
2) Man könnte zur Höhenbestimmung von F auch das rechtwinklige, in vertikaler Ebene liegende Dreieck F F' A benutzen, doch erfordert dann die Höhenbestimmung von L mehr neue Hilfslinien als bei dem oben besprochenen Verfahren.