Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

62 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~ 22.
Einiges über das regelmäßige Fünfeck und Zehneck im Kreis vom
Radius r muß vorausgeschickt werden.
Die Zehnecksseite ist s10 {r - L).
Die Fünfecksseite ist s5 - r O 2- '/ö.
Die Fünfecksdiagonale ist d5 = i- s (]/5 + 1)
und zwischen s, und si1 besteht die Beziehung,2 102 _r2
5 ~ S10 - T
Die erste Formel ist aus der Planimetrie bekannt, aus ihr folgen
sin 18~ und cos 18~; dann lassen sich die zweite und dritte Formel goniometrisch berechnen. Ubrigens erhält man auch die zweite Formel leicht
planimetrisch, ebenso die dritte. ) Die vierte Formel ist eine Folge der
ersten und zweiten.
Aus dem Wert von so folgt die einfache und doch in vielen planimetrischen Büchern fehlende Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks, welche
schon bei Euklid steht (Fig. 48)2): Man zieht im Kreis vom Radius r
D zwei rechtwinklige Durchmesser AC und
j~ —... 'I' BD und konstruiert um den Halbierungs/, / s\ \ E punkt E von MC einen Kreisbogen durch
"eOb,/ / | E N\\ D, welcher AM in F trifft. Seine Sehne, / D E DF ist die Fiinfecksseite. Ihre Länge
\ I/ ' \ /' erfordert aber wegen der beim Zeichnen,.A r F M unvermeidlichen Ungenauigkeiten eine
\ Ö\~ / j Probe durch fünfmaliges Eintragen als
'\\ \ /,' Sehne in den Kreis; die nötige Verbesse/\ \ /, rung ist leicht anzubringen. Will man es
vermeiden, den Kreis vom Radius r zu
~ Bö~~~ ~ zerstechen, dann teilt man zuerst einen
Fig. 48. konzentrischen Kreis von größerem
Radius ein und überträgt dann die
genaue Teilung auf den gegebenen Kreis durch Ziehen von Radien.
Soll ein regelmäßiges Fünfeck von gegebener Seite konstruiert
werden, so kann man den Radius oder die Diagonale durch die Seite
algebraisch ausdrücken und danach konstruieren; aber einfacher ist es,
1) Ähnliche Dreiecke geben -d5: s = /(2r)2-s: 2)'r und daraus findet man
zuerst ds = ' s * /6 + 2 15/.
2) Auch bei Dürer findet sich diese Konstruktion, ebenso wie Konstruktionen
andrer regelmäßiger Sehnenpolygone; dabei macht er zwischen genauen und angenäherten Konstruktionen keinen Unterschied.