Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

56 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufiiß. ~~ 14-15.
je.eine Hälfte von k1 und k2' abgegrenzt. Die Mantelgeraden, welche
diese beiden Tangenten zu Grundrissen haben, teilen die Mantelfläche in
eine von oben sichtbare und in eine von oben unsichtbare Hälfte. Von k1
ist nur die eine Hälfte von oben sichtbar. - Im Aufriß bedeckt die Gesamtheit der Projektionen aller Mantelgeraden ein Flächenstück überall
doppelt; dieses Flächenstück ist ein Parallelogramm Al"A2"B2"B "
Ist von einer bestimmten Mantelgeraden der Grundriß gegeben, so
kennt man ihren Grundrißspurpunkt und erhält daraus ihren Aufriß eindeutig. Ist aber von einer Mantelgeraden der Aufriß gegeben, so erhält
man den Grundriß im allgemeinen zweideutig.
~ 15. Die Projektionen eines Punktes der Mantelfläche. Ist jetzt
der Grundriß eines Punktes P der Mantelfläche gegeben, so fällt der
Grundriß der durch P gehenden Mantelgeraden auf die durch P'
gehende Parallele zu MIM2', ist aber häufig nicht eindeutig bestimmt.
Sobald nämlich P' nicht im Innern von k1 oder k2 liegt, ist nicht unmittelbar zu sehen, ob P auf der von oben sichtbaren oder auf der von
oben unsichtbaren Hälfte der Mantelfläche liegt; es gibt dann zwei
gleichberechtigte Möglichkeiten für den Grundrißspurpunkt der durch P
gehenden Mantelgeraden; dieser kann auf der von oben sichtbaren oder
auf der von oben unsichtbaren Hälfte von 7k liegen. Dem entsprechen
zwei Möglichkeiten für die Aufrißprojektion der Mantelgeraden und damit
zwei gleichberechtigte Lagen für P". Ist umgekehrt von einem Punkt P
der Mantelfläche P" gegeben und liegt P" nicht gerade auf A,"A2" oder
Bi"B2", so ergibt sich P' stets zweideutig, denn man erhält den Aufriß
der durch P gehenden Mantelgeraden eindeutig, uud dazu gibt es zwei
gleichberechtigte Grundrisse. (In der Figur ist nur einer von ihnen gezeichnet.)
Ähnlich wie der Kegel in Fig. 44 enthält der schiefe Kreiszylinder
unendlich viele horizontale Kreise, deren Mitten auf M1M1 liegen. Ein
solcher Kreis hat als Aufriß eine horizontale gerade Strecke k", als Grundriß einen Kreis k' vom Radius r. Dabei berührt k' die beiden äußeren Tangenten von k7 und k7'. Wieder läßt sich dieser Kreis k zur Konstruktion
des P" aus gegebenem P' oder des P' aus gegebenem P" verwenden.
Ist P' gegeben, so liegt der Mittelpunkt M' von k' auf M u11' und im
Abstand r von P'.1) Er bestimmt sich demnach eindeutig, wenn P' im
Innern von ki oder k2' liegt, im andern Falle (für die Lage in der Figur)
zweideutig. Zu jeder Lage von k' ergibt sich k" eindeutig, indem man
11" auf M1"M1" sucht. - Ist umgekehrt P" gegeben, so erhält man k"
1) Der Punkt ist in der Figur eingetragen, aber nicht bezeichnet. Im Interesse
der Deutlichkeit der Figuren muß man sich iiberhaupt daran gewöhnen, mit wenigen
Buchstaben auszukommen.