Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 10-11. IV. Abschnitt. Perspektivische Affinität. 41
Mathematik im Nachbargebiete hineinzuschauen, und deshalb mag hier
kurz einiges angegeben werden.1)
E und E1 sind die beiden Ebenen. In E nimmt man ein rechtwinkliges Koordinatensystem an, dessen x-Achse auf s liegt. In E1 nimmt man
am besten in folgender Art ein schiefwinkliges Koordinatensystem an.
Der Anfangspunkt fällt mit dem Anfangspunkt des Systems in E zusammen, die positive x1-Achse fällt auf die positive x-Achse, die positive
y1-Achse entsteht durch die gegebene Parallelprojektion aus der positiven
y-Achse. Ein Paar zusammengehöriger Punkte P und Pl, mit dem Koordinaten x, y und x", yl, wird betrachtet. Von P fällt man in E ein
Lot auf die x-Achse. Von P, zieht man in E1 eine Parallele zur yl-Achse
bis zur xAchse. Dann enden beide Linien in demselben Punkt S von s.
Denn man sieht leicht, daß sie in einer Ebene liegen, welche zur Ebene
der y-Achse und der y-Achse parallel sind. So ist x1 = x. Zwischen
den Ordinaten y und y, aber besteht ebenfalls ein einfacher Zusammenhang. Zum Dreieck PSP, entsteht nämlich ein ähnliches Dreieck, wenn
man von einem zweiten Punktpaar Q, Q ausgeht. Daraus folgt, daß die
Ordinaten y und yi entsprechender Punkte in E und E1 ein festes, von
der Lage dieser Punkte unabhängiges Verhältnis haben.
Für die eingeführten Koordinatensysteme ist hiermit folgender Zusammenhang zwischen den Koordinaten der perspektivisch affinen Punkte
P und P, gefunden:
xr = x y1 =- konst. y.
Nun kann man in jeder Ebene zu einem allgemein liegenden rechtwinkligen Koordinatensystem übergehen (x', y' und x,', y1'). Dann hat
man sofort Transformationsformeln von dieser Form:
x'= c X + ß. y + E, yi = y-'y + x' y + g,
in welchem die Determinante ca - /ß y von 0 verschieden ist, weil
zu jedem Wertepaar x', y1 ein bestimmtes zugehöriges Paar x', y gehören muß.
Perspektivische Affinität im Raum zwischen zwei getrennten Ebenen
und perspektivische Affinität zwischen zwei zusammenfallenden Ebenen
sind nach ~~ 3, 4 aufeinander zurückführbar. Darum gelten für die
perspektivische Affinität zwischen zwei sich deckenden Ebenen ebenfalls
die vorhin aufgestellten Formeln. (Man kann dabei die Koordinatensysteme in beiden Ebenen zusammenfallend wählen.)
~ 11. Die allgemeine Affinität. Übrigens kommt man bei perspektivischer Affinität zwischen zwei sich schneidenden oder zusammenfallendenden Ebenen nicht auf die allgemeinsten Formeln:
1) Das Entwerfen einer parallelperspektivischen Skizze zu der folgenden Untersuchung ist zu empfehlen. Das Studium dieses Paragraphen kann verschoben werden,