Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 5-7. IV. Abschnitt. Perspektivische Affinität. 39
tretenden Figuren zueinander perspektivisch affin. Denn P, Q, und P2 Q2
liegen in einer Ebene, weil sie beide durch den Schnitt U von P Q mit s
gehen, und UPi: UQ, ist gleich UP: UQ2, weil beide Verhältnisse gleich
UP: UQ sind. Daraus folgt P, P Q, Q2.
Als besonderer Fall ist noch der Satz zu erwähnen, der später mehrfach') verwendet wird: Fallen E, und E2 zusammen, d. h. wird eine in E
gegebene Figur auf eine andere Ebene zweimal, in verschiedenen Richtungen durch parallele Strahlen projiziert, so entstehen in dieser Ebene
zwei zueinander perspektivisch affine Figuren.
~ 6. Vorläufige Angaben über die perspektivische Affinität zwischen
Grund- und Aufriß einer ebenen Figur. Projiziert man eine ebene Figur
orthogonal auf TT, und TT2, dann folgt aus den vorhergehenden Sätzen
keineswegs die perspektive Affinität der beiden Projektionen, denn die drei
Ebenen haben keine gemeinsame Schnittgerade. Auch findet, solange
TTi und TT2 rechtwinklig zueinander stehen, wirklich i. a. keine perspektivische Affinität zwischen den beiden Orthogonalprojektionen statt. Werden aber Grund- und Aufriß durch Drehung um die Projektionsachse in
eine Ebene gebracht, dann tritt perspektivische Affinität ein, was in ~ 3
vomr V. Abschn. bewiesen wird.
~ 7. Konstruktionen bei perspektivischer Affinität in derselben
Ebene. Eine perspektivisch affine Zuordnung zweier Figuren derselben
Ebene ist völlig bestimmt, wenn man die Affinitätsachse s und zu einem
Punkt A den zugeordneten Punkt A, kennt, denn daraus lassen sich zu
beliebigen Punkten die affinen Punkte und zu beliebigen Geraden die
affinen Geraden in folgender Art finden.
Ein Punkt B der einen Figur liefert die Gerade AB (Fig. 33). Die
affine Gerade AB, geht durch A, und trifft s in demselben Punkt wie
AB, hiermit ist die Gerade AB, bestimmt, und B1 folgt auf ihr durch
BB, ( AA,.
Wenn AB die Affinitätsachse s an unzugänglicher Stelle trifft, bedarf
das Verfahren einer Abänderung (Fig. 34). Man kann durch A eine
Gerade nach einem Punkt K
von s legen, AK ist die affine 4A
-Gerade zu AK. Zieht man B -
durch B eine Parallele zu AK, --- \- -'"'F
welche s in Ltreffe, so ist die s
zu BL affine Gerade eine von _, "
L ausgehende Parallele zu AK K,
B1 liegt auf dieser Parallelen A
i. 11 A A Figf. 33. Fig. 34.
und folgt aus BB AA. Fig. 33. Fig. 34.
1) Z. B. bei Schattenkonstruktionen und in den Abschnitten über Parallelperspektive.