Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

30 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~. 27-28.
Entsprechende Sätze gelten für die Projektion eines Winkels auf die
Ebene TT2.
~ 27. Übertragung dieser Sätze auf rechte Winkel. Weni ein
rechter Winkel so liegt, daß seine beiden Schenkel die Spur ei treffen,
dann folgt aus dein vorigen Paragraphen, daß dieser rechte Winkel einen
stumpfen Winkel zur Grundrißprojektion hat. Liegt umgekehrt der rechte
Winkel so, daß einer seiner Schenkel und die Verlängerung des andern
die Spur e1 treffen, so hat sein Nebenwinkel eine stumpfwinklige Grundrißprojektion, er selbst also eine spitzwinklige.
Ein rechter Winkel, dessen beide Schenkel eine Spurparallele und
eine Spurnormale erster Art von E sind, hat zur Grundrißprojektion einen
Winkel, dessen einer Schenkel parallel zu et, dessen anderer Schenkel
senkrecht zu ei ist, d. h. er hat einen rechten Winkel zur Grundrißprojektion.
So hat ein rechter Winkel dann und nur dann einen Rechten
zur Grundrißprojektion, wenn seine beiden Schenkel eine Spurnormale und eine Spurparallele erster Art seiner Ebene sind.
~ 28. Änderung des Flächeninhalts einer ebenen Figur durch
Orthogonalprojektion. Wenn in der Ebene E ein Rechteck durch zwei
Spurparallelen und zwei Spurnormalen erster Art begrenzt ist, so ist sein
Grundriß wieder ein Rechteck. Dabei haben die horizontalen Seiten des
ursprünglichen Rechtecks Projektionen von der ursprünglichen Länge,
während die Projektionen der geneigten Seiten im Verhältnis cos c1:1
verkürzt sind. Darum ist der Flächeninhalt der Grundrißprojektion gleich
dem mit cosca multiplizierten ursprünglichen Flächeninhalt.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Katheten eine Spurparallele
und eine Spurnormale erster Art sind, ergibt sich dasselbe Gesetz für die
Verkleinerung des Flächeninhalts durch die Projektion auf TT,. Ein Dreieck von allgemeiner Lage läßt sich immer als algebraische Summe
solcher rechtwinkligen Dreiecke auffassen. Darum gilt auch für ein allgemeines Dreieck in E der Satz, daß der Flächeninhalt seiner Grundrißprojektion gleich seinem mit coso, multiplizierten ursprünglichen Flächeninhalt ist. Der Satz läßt sich dann auf beliebige Polygone übertragen.
Auch kann man ihn durch einen Grenzübergang auf krummlinig begrenzte
Gebiete ausdehnen, entweder, indem man die Kurve als Grenzfall eines
Polygons auffaßt oder indem man das von der Kurve begrenzte Gebiet
durch Spurnormalen (oder Spurparallelen) erster Art in zahlreiche Elementarstreifen zerlegt, so wie es in der Integralrechnung geschieht.