Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 25-26. II. Abschnitt. Die Ebene und in ihr liegende Punkte und Geraden. 29
und 1H erfordert. Damit ist der Winkel von g und h gefunden. -- Ebenso
kann man das aus P, G2 und H2 gebildete Dreieck in T2 umlegen.
Zusatz: Unter dem Winkel von zwei windschiefen Geraden versteht man den Winkel, welchen zwei durch irgend einen laumpunkt P
gehende Parallelen zu diesen Geraden miteinander bilden. Die Konstruktion bietet demnach keine Schwierigkeit, am einfachsten wird sie, wenn
man P auf einer der gegebenen Geraden wählt; dann sind nur die Projektionen der Parallellinie zur andern Geraden zu zeichnen.
~ 26. Änderung eines Winkels durch Projektion. Gegeben ist eine
Ebene E durch ihre Spuren e1 und e2. In der Ebene liege der Punkt P,
dessen P' gegeben ist. Auf der Spur e1 liegen die Punkte G und H.1)
Die wahre Größe des Winkels GPH erhält man durch Umlegen des Dreiecks GPH in TT1. Die beiden Dreiecke GPoH und GP'H haben gemeinsame Grundlinie, gemeinsamen Höhenfußpunkt F, und die Höhe PoF des
ersten Dreiecks ist größer als die Höhe P'F des zweiten.
Liegt nun F zwischen G und H, dann ist der Winkel an der Spitze
im ersten Dreieck sicher kleiner als im zweiten, d. h. die Projektion GP'H
des Winkels, GPH ist größer als der ursprünglich betrachtete Winkel
GPH. Daraus folgt der Satz:
Ein Winkel in geneigter Ebene E, dessen beide Schenkel die
Spur e, treffen und dabei zwischen sich die durch den Scheitel
gehende Spurnoi&male erster Art enthalten, wird durch die Projektion auf TTI vergrößert.
Ein besonderer Fall dieses Satzes ist der, daß der spitze Winkel
zwischen einer in E liegenden Geraden und einer Spurnormalen erster Art
durch die Projektion auf TT, immer vergrößert, und daß der spitze Winkel
zwischen einer in E liegenden Geraden und einer Spurparallelen erster
Art durch die Projektion immer verkleinert wird.
Ist das Dreieck GPH bei G oder bei H stumpfwinklig, so daß der
Höhenfußpunkt F auf die Verlängerung der Grundlinie GH fällt, dann
läßt sich der Winkel GPH als Differenz der beiden Winkel auffassen,
welche seine Schenkel mit einer Spurnormalen erster Art bilden. Jeder
dieser Winkel vergrößert sich durch die Projektion, und man sieht nicht
ohne weiteres, welcher sich stärker vergrößert. Der Winkel GP'H kann
größer, ebenso groß oder kleiner sein als der ursprünglich gegebene
Winkel GPH. Das sieht man am besten, wenn man das Dreieck GPH
so in TTi umlegt, daß Po und P' auf derselben Seite von e1 liegen. Je
nachdem dann P' innerhalb auf oder außerhalb des durch G, H und P,
gehenden Kreises liegt, ist < GP'H größer, ebenso groß oder kleiner als
9 GPoH oder < GPH.
1) Zu diesem Paragraphen sind keine Figuren gegeben. Vergleiche die zweite
Anmerkung auf S. 31.